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样条有限元方法和比例边界有限元方法的若干研究的开题报告
一、研究背景
有限元方法是当今最为常用的数值计算方法之一，广泛应用于结构力学、流体力学、热力学等领域。然而，由于材料变形和几何形状复杂性等原因，通常需要使用高阶的有限元方法才能获得满意的数值解，而这往往会导致计算资源的消耗增加和计算时间的延长，不利于实际工程应用。因此，针对这一问题，针对性地发展出了基于样条和比例边界的有限元方法。
二、研究内容
1.样条有限元方法
样条有限元方法（SplineFiniteElementMethod,SFEM）是一种应用样条函数（splinefunction）构建有限元形函数的方法，其将区域分解为光滑曲面，再在每个单元内用低阶样条函数来逼近高阶形函数，有效地提高了数值解的精度和计算效率。针对SFEM方法，可以从下面几个方向展开研究：
（1）基于不同类型样条函数的SFEM方法的比较分析。
（2）基于SFEM方法的曲线和曲面有限元的建模与应用。
（3）基于SFEM方法的自适应有限元算法的设计与优化。
2.比例边界有限元方法
比例边界有限元方法（ProportionateBoundaryFiniteElementMethod,PBFEM）是一种基于边界元方法（BEM）的有限元方法，其利用区域内部的常微分方程离散化的特点，将局部的应变场映射到边界上，并将边界上所需的位移推导出来，从而得出整个区域的位移和应力场分布。针对PBFEM方法，可以从下面几个方向展开研究：
（1）基于不同类型边界的PBFEM方法的比较分析。
（2）基于PBFEM方法的模态分析与动力响应的研究。
（3）基于PBFEM方法的结构优化设计与优化算法。
三、研究意义
SFEM和PBFEM方法都是为了解决传统有限元方法中高阶形函数导致计算量增加和精度下降等问题而发展出来的新型有限元方法。相较于传统的有限元方法，这两种新方法具有更高的精度和更快的计算速度，能够更准确地预测结构的变形、应力和振动等问题，并在工程实践中得到了广泛的应用。因此，研究这两种方法对于提高有限元方法的理论水平和工程应用的效率具有很重要的意义。
四、研究方法
本文主要采用文献综述和数值案例分析的方法来对样条有限元方法和比例边界有限元方法进行研究。文献综述采用文献分析和归纳总结的方式，从理论和应用的角度详细阐述这两种方法的相关研究进展，并通过比较分析来探究其优缺点与适用范围。数值案例分析采用ANSYS等商业软件，通过建立具体的结构模型并进行模拟计算，来验证这两种方法的有效性和可行性。同时，针对PBFEM方法，还将采用MATLAB等语言编写的程序进行模拟计算，进一步探究不同的参数设置对其计算精度和效率的影响。
五、研究计划
第一年：
（1）了解样条有限元方法和比例边界有限元方法的基本原理和研究现状。
（2）阅读文献并进行总结和评估，确定研究方向。
（3）通过ANSYS等软件建立典型的力学结构模型，进行数值计算和结果分析。
第二年：
（1）重点研究样条有限元方法和比例边界有限元方法的基本理论和方法优化。
（2）设计并编程建立模拟计算程序，进行数值模拟计算和数据处理。
（3）开发自适应有限元算法，并进行计算效率和精度的对比分析。
第三年：
（1）针对PBFEM方法，探究其在动力响应和优化设计中的应用。
（2）开发新的数值方法和模型进行改进和拓展，以提高其精度和效率。
（3）撰写学术论文、报告等，完成整个研究工作。
六、预期成果
（1）建立较为完整的样条有限元方法和比例边界有限元方法的理论框架和数值模拟体系。
（2）优化设计新的自适应有限元算法，进一步提高算法的计算效率和精度。
（3）发掘PBFEM方法在结构动力响应和优化设计方面的应用，提高其研究深度和广度。
（4）发表SCI和EI论文两篇，参加国内外学术会议，并提交研究报告。