子流形整体几何与平均曲率流的若干研究的任务书.docx

子流形整体几何与平均曲率流的若干研究的任务书
任务书
一、任务背景
子流形是现代微分几何学中的一种基本对象，是指在高维空间中的一个低维局部嵌入，如平面，曲面，超曲面等。子流形的研究可以追溯到19世纪初叶高斯和韦伯所做的一些工作，后续发展中，不仅涌现出了众多经典的结果，如椭球定理，极小曲面的存在性与唯一性等，而且得到了微分几何中一系列研究方向的启发和促进，如杨-米尔斯方程，几何流等。
然而，与子流形上的局部几何不同，子流形的整体几何及演化却是一个难以捉摸的问题，直接求解子流形上的微分方程十分困难。近年来，平均曲率流成为了研究子流形演化的一个重要工具，即通过一系列的微分流动，将子流形平滑变形为球面，弥补了直接求解微分方程的困难。同时，平均曲率流本身也是一个富有意义的数学模型，与许多重要问题有着紧密的联系，如材料科学中的表面诱导形变，计算机图形学中的表面重建等。
二、任务内容
本次研究将探讨子流形整体几何与平均曲率流的相关问题，包括但不限于：
1.平均曲率流的数学描述及基本性质，如最小曲面与球形曲面的存在唯一性问题，平均曲率演化下的曲面的局部几何特征等；
2.平均曲率流的数值模拟与数值方法，如有限元方法，有限差分方法，反演方法等，以及其准确性及稳定性的分析；
3.平均曲率流在表面重建，材料表面形变，图像处理等方面的应用研究；
4.子流形的整体几何特征及其在平均曲率流中的影响，如面积，周长，切平面张量场等；
5.平均曲率流与子流形的演化过程中的拓扑变化及其数学描述，如流形的封闭性，吸引子，拓扑不变量等。
三、任务要求
1.具有微分几何及相关领域的基本知识，如微分流形，黎曼度量，曲率等基本概念，并对有关子流形与平均曲率流的经典结果有较好的了解；
2.熟练运用微积分，偏微分方程，变分原理等数学工具；
3.熟练掌握一门或多门数学软件，如MATLAB，MAPLE等，可以使用较为基础的数值方法模拟平均曲率流的演化；
4.具有较好的英文文献阅读能力，能够独立查找并阅读国内外相关文献；
5.具有较好的组织能力和团队合作精神，能够与导师和同学积极交流，发表并推广相关研究成果。
四、参考文献
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