高二数学选修2-1知识复习二 人教实验版(B).doc

高二数学选修2-1知识复习二
一.本周教学内容：
◆选修2－1知识复习（二）

二.教学目的
通过对选修2－1各章节重点知识分析及例题讲解，加强对本册知识的掌握。

三.教学重点、难点
重点问题专题讲解

四.知识分析
（八）抛物线
抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l（Fl）距离相等的点的轨迹。抛物线部分的重点是抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程和几何性质。难点是利用抛物线的定义解题，求抛物线的方程以及抛物线几何性质的应用。下面通过几例来体验一下如何突破抛物线的重难点。
例1.如图所示，AB为抛物线上的动弦，且（a为常数且），则弦AB的中点M与x轴的最小距离为__________。

分析：将M到x轴的距离转化为A，B两点到准线的距离，进而转化为A，B两点到焦点的距离，从而利用定义解题。
解：设A，M，B点的纵坐标分别为，且A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为。
由抛物线的定义知：
，
所以
又M是线段AB的中点，
所以

等号在定长为a的弦AB过焦点F时成立，此时M点与x轴的距离最小，最小值为（）。
点评：本题运用了抛物线的定义，并注意挖掘题目中隐含的几何条件（三角形的性质），使解题过程简明快捷。另外，抛物线过焦点的弦的最小长度为1，故的条件保证了AB过焦点，即本题的最小值可以取到。

例2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点（－3，m）到焦点的距离为5，求抛物线的方程。
分析：应分焦点在y轴正半轴和负半轴两种情况考虑，利用抛物线的定义，结合待定系数求抛物线方程。
解：若焦点在y轴的正半轴上，则可设方程为
准线方程为， 所以
又因为，所以，所以。解得p=1或。
所以抛物线方程为或
若焦点在y轴的负半轴上，则可设方程为
准线方程为，所以
又因为，所以。
所以。解得p=1或p=9
所以抛物线方程为或。

例3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点O的两个不同动点A，B满足AO⊥BO，如图所示。
（1）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（2）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

分析：求动点轨迹的常规方法，就是设动点（x，y），找该点与A（），B（）的关系，再求轨迹方程。求面积的最小值经常与二次函数以及均值不等式联系在一起。
解：（1）设△AOB的重心为G（x，y），点A（），B（），则

因为AO⊥BO，所以
即 ③
又点A，B在抛物线上，所以
代入③化简得
由①得
所以

即重心G的轨迹方程为。
（2）

由（1）得
因为
所以，且当x=0时，
所以
故△AOB的面积存在最小值，最小值为1。
点评：本题考查了轨迹问题、最值问题，同时考查了同学们推理运算能力及综合运用知识解题的能力，应注意代入法的使用。

（九）直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线中的重要内容，也是近年高考的热点内容。只要是考查圆锥曲线问题，一般都是与直线结合。因此我们扎实地掌握基础，熟练地掌握各种技能是必须的。本文对这一小块内容进行小结，希望会对你有所帮助。
一、重点再现
直线与圆锥曲线问题的求解思路通常有两条：其一是借助方程，将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y得到关于x的方程（当然，也可以消去x得到关于y的方程），通过分析方程产生结论；其二是数形结合，由于抛物线及双曲线的特殊性，有时借助于数形结合可能会更直观、更方便。我们知道当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，都只有一个交点，但此时并非相切。

二、难点回顾
由于直线与圆锥曲线的位置关系可以涉及直线与圆锥曲线的所有基础知识与基本技能，又可以与函数、方程、不等式等知识进行交汇，因而它是解析几何的难点之一。

三、典例解析
例1.求过点P（2，1）且被点P平分的椭圆的弦所在直线的方程。
解法一：设所求直线方程为，
则
消去y，并整理得：

由得。
于是所求直线方程为
解法二：设弦的两端点分别为（）与（），
则由
可得：

所以
于是所求直线方程为
评析：直线与圆锥曲线相交，出现“中点弦”问题的常规处理方法有两种：
（1）通过方程组转化为一元二次方程，结合韦达定理及中点坐标公式进行求解；
（2）点差法：设出弦的两端点，利用中点坐标公式进行求解。

例2.已知直线与双曲线关于A，B两点。
（1）若以AB为直径的圆过原点，求实数a的值；
（2）若A，B在双曲线的两支上，求实数a的范围。
解：由
可得：
由于直线与双曲线有两个交点，
因此，可得：

（1）设A（），B（），
则
即
也就是
所以
解得
（2）若A，B在双曲线的两支上，则
即
于是