（小学中学试题）八年级数学暑假专题—一元二次方程拓展(一) 人教版.doc

一.教学内容：
暑假专题——一元二次方程拓展（一）

【典型例题】
例1.解方程：
解法一：公式法：

注：1.先将方程化为一般形式；2.计算时首先从计算△入手。
解法二：配方法：

把配方，得

注：加上一次项系数一半的平方。
解法三：整理得：

例2.解分式方程：
（1）
（2）
分析：分式方程的一般解法是去分母，特殊解法是换元法。
（1）解法一：去分母，两边乘以，得：

整理得：

经检验：，是原方程的解。
解法二：设，则
原方程变形为：
即

当时，
当时，
经检验，是原方程的解。
（2）解：设，则
∴原方程变为

即
对于

∴此方程无实根
对于
解得
经检验，是原方程的解。

例3.m是什么数值时，分式方程有根？
分析：求出x后必须使x≠0且x≠1分式方程会有根
解：去分母，得
解得
要使分式方程有根，根只能是且不是增根

且
∴当且时，分式方程有根。

例4.某商场进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件再提价1元出售，其销售量就减少20件。现在预算须获利润12000元。问：这种服装销售单价确定多少为宜？这时应进多少件服装？
分析：总利润＝（售价－50）×销售量
解：设这种服装销售单价确定为每件x元
据题意，得
解这个方程，得
当x＝70时，应进件；
当x＝80时，应进件。
答：销售单价为70元时，应进600件；销售单价为80元时，应进400件。

例5.制造一种产品，原来每件的成本价为500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？（销售价＝成本价＋销售利润）
解：设成本价平均每月应降低的百分数为x
据题意，得
整理，得

（不合题意，舍去）
答：成本价平均每月应降低10%。

例6.某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加。（人均住房面积，单位：平方米/人）该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如下图：请根据图1、图2所提供的信息解答下面的问题：
（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米？

开发区每年年底人口总数统计表
图1

开发区每年年底人均住房面积统计表
图2
（2）由于经济发展需要，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年底增加2万，为使到2001年底该区人均住房面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？
分析：1997年住房总面积为：17×9＝153万平方米；
1998年住房总面积为：18×9.6＝172.8万平方米；
1999年住房总面积为：20×10＝200万平方米。
由于1998年比上一年增加了172.8－153＝19.8万平方米，
1999年比上一年增加了200－172.8＝27.2万平方米。
所以1999年比1998年多增加了27.2－19.8＝7.4（万平方米）
预计2001年底，该区住房总面积为（20+2）×11＝242万平方米
解：（1）答：1999年比上一年增加的住房面积多，多增加7.4万平方米
（2）设两年中住房总面积的年平均增长率应达到x
据题意，得
解这个方程，得（不合题意，舍去）
答：两年中住房总面积的年平均增长率应达到10%。

例7.如图3，有一直立标杆AC，它的上部被风在B处吹折，标顶着地C1，离杆脚2米；修好后，再次被风按原方向吹折，因新断点D比前次断点B低0.5米，故杆顶着地C2比前次C1点远1米，求标杆的高度。

图3
分析：直接设标杆高度x米，显然不易建立方程，注意到BC＝BC1，DC＝DC2，且AC1＝2米，BD＝0.5米，C1C2＝1米，故可设AB＝x米，BC＝y米，而AC＝x+y，这样可通过Rt△，用勾股定理建立方程组。
解：设AB＝x米，BC＝y米，则米。
据题意，得
原方程组可化为
把①代入②，得

答：标杆高AC＝5米。

小结：①一元二次方程的四种解法为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；②分式方程常采用去分母或换元法；③方程（组）的应用应注意相等关系的选取。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.解下列各方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
2.解关于x的方程
3.如图4，在宽为20米，长为32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路，（两条纵向，一条横向，纵向和横向互相垂直）把耕地分成六块试验田，要使试验田面积是570平方米，问道路应该是多宽？

图4
4.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%，（即100千克花生可加工成花生油50千