（小学中学试题）利用 模型函数 解决抽象函数问题 专题辅导.doc

利用“模型函数”解决抽象函数问题
潘新锋
动物学家们做过一次有趣的实验：把一块肉用绳子悬在空中，绳子的一端系在树枝上鹦鹉想吃到肉，但不能停在半空中来夺肉。怎么办？一只鹦鹉经过多次扑腾均遭失败后，它不再直接扑向肉，而是抓起拴肉的绳子把它一段一段的提起，直到把肉提到自己的面前。
这只鹦鹉的做法是值得称道的，它能给我们以深刻的启示：当直接求解某个问题有困难时，你可以先解决一个与此相关但更简单的问题，再采用类比抽象的方法寻求解题途径。
函数部分有一类抽象函数问题，它给定函数f(x)的某些性质，要证明它的其它性质，或利用这些性质解一些不等式或方程，学生很感棘手。其实这些题目的设计，一般都有一个基本函数做“模型”。如能分析估猜这个模型函数，联想这个函数的其他性质来思考解题方法，那么这类难题就可转化为简易问题来处理，请看下面各例：
例1设f(x)是定义在上的增函数，且
（1）求证：
（2）求不等式的解集；
（3）求证：
分析：从条件f(x)是定义在上的增函数，且欲证结论可猜测f(x)的模型函数是对数函数，至少可以说对数函数具有这些基本性质。函数f(x)是是这些性质存在的充分条件，而对数函数的性质是作为这一性质为推论而得出的。因此这题的难点，证可由证起步，从而化解难点。
解：（1）令则从而
（2）因为
所以不等式等价于

又因为f(x)是定义在上的增函数。
所以
解得
（3）因为
所以

例2定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，，都有且
（1）求证：；
（2）求证：是偶函数；
（3）若存在正常数c，使①求证：对任意，有成立。②试问函数是否为周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，说明理由。
分析：该题的难点在（3）。但从题给条件x，总有看似像三角函数的和化为积。再由同种函数之和化成同种函数之积，故可猜，而及f(x)为偶函数又坚信了f(x)的模型是cosx，那么中的周期正是欲证题中常数2c，既探出周期2c，证题的思路就豁然了。
证明：（1）令代入得
因为所以f(0)＝1。
（2）令，得
所以，所以是偶函数。
（3）①
则

所以
②令
得

所以
（*）
又令
得
所以这样（*）式变为因此f(x)是周期函数，2c是它的一个周期。

例3设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有且当时，
（1）求证：且当时，有
（2）判断f(x)在R上的单调性；
（3）设集合集合若，求a的取值范围。
分析：根据所给条件可猜测f(x)的模型函数是从而易得如下解法。
证明：（1）因为令则且时，所以设所以所以
（2）则时，所以
所以所以f(x)在R上单调递减。
（3）因为所以由f(x)单调性知又所以
因为，所以所以从而

例4f(x)是定义在R上的奇函数，且给出四个结论：（1）（2）f(x)是以4为周期的函数；（3）f(x)的图像关于y轴对称；（4）其中所有正确的命题是_____________。
分析：由条件f(x)是奇函数，且猜测f(x)的模型函数是
因且猜测正确命题序号是（1）（2）（4）。
证明：由f(x)是奇函数得
所以即（1）正确。
将中－x代替x，得：

因为f(x)是奇函数，
所以
即
由知（2）正确。
由知（4）正确。
抽象函数的模型函数往往是不惟一的，如：函数是奇函数，函数图像关于点对称，f(x)的模型函数可以是函数等。
从以上几个例子可以看出，利用“模型函数”解抽象函数问题，可以先从题设条件及欲证结论多方面猜想函数的模型，以此模型函数为桥梁，联想这模型函数推证出欲证性质的过程，找出证明抽象函数其它性质的方法，这种解题方法是在不允许用具体函数代替的基础上将具体函数高度抽象后的结晶，因此解这类题要求思维灵活而深刻，要善于透过表象和外部联系，揭露事物的本质和规律，深入地思考问题，系统地、一般地理解问题，预见事物发展过程。因此“模型函数”解题法是培养思维灵活性和深刻性的良好教材。

练习：
1、抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如正比例函数可抽象为写出下列抽象函数是由什么特殊函数抽象而成的（填入一个函数即可）。
表1
特殊函数抽象函数2、已知函数f(x)，满足且则
3、设函数是偶函数且是周期为4的周期函数，在［0，2］上有且只有，求使所有根之和_________。
4、设函数是奇函数，对任意x，都有且当时，，求f(x)在［－3，3］上的最大值与最小值。
5、已知函数f(x)在（－1，1）有定义，且满足x，都有
证明：（1）f(x)在（－1，1）上为奇函数；
（2）对数列中，求