（小学中学试题）八年级数学平面图形的全等变换与图案设计鲁教版知识精讲.doc

八年级数学平面图形的全等变换与图案设计鲁教版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
1、平面图形的全等变换——对称、平移、旋转
2、利用平面图形的全等变换进行图案设计

二.学习重、难点：
平面图形的全等变换的应用既是重点也是难点

三.知识要点讲解：
【知识回顾】
1、轴对称及轴对称图形
（1）轴对称图形：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
（2）两个图形的轴对称性：——翻折变换
对于两个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴
2、平面图形的平移
（1）平面图形的平移的意义：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
（2）平面图形平移的性质：
经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。
注意：在平移的过程中，对应线段及对应点所连的线段也可能在一条直线上。如图：
SHAPE\*MERGEFORMAT
3、平面图形的旋转
（1）平面图形的旋转的意义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形的运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的形状和大小。
（2）平面图形的旋转的性质
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离都相等。
注意：①特殊的旋转——旋转180°，又称中心对称
②旋转180°的图形的特征———对应线段平行或共线。

③不论是翻折、平移还是旋转都不改变图形的形状和大小——即：图形全等。
【平面图形的全等变换】
我们知道，图形经过对称、平移、旋转后的图形的形状、大小都不变，即：图形全等，我们把这种变换称为全等变换。
问题1：

问题2：图中的左右两个图形，它们有什么关系？利用怎样的变换可以将左边的图形变成右边的图形？

问题3：图中的左上和右下两个图形经过怎样的变换可以将左上的图形变成右下的图形？

方法1、将左上角的图形绕点O旋转180°得到右下角的图形。
方法2、将左上角的图形经过两次对称变换得到右下角的图形。
例1：怎样将图中的甲图案通过变换与乙图案重合？

解：可以先将甲图案绕图上的点A旋转，使得图案被“扶直”，然后，再沿AB方向将所得图案平移到点B的位置。使得甲图案与乙图案重合。

例2：如图1、怎样将左边的图案通过变换与右边的图案重合？图2中是由三个正方形拼成的图形，它可以看做是由其中一个正三角形经过怎样的变换而得到的？

图1 图2
解：图1中，经过顺时针旋转90°，再向右平移即可得到右边的图案。
图2中，绕三角形的公共顶点依次旋转60°得到.

练一练：
1、如图，方格纸上的四边形A＇、B＇C＇D＇是由四边形ABCD经过变换得到的，试说出它的变换过程？

解：四边形ABCD向右平移3个单位长，再向上平移3个单位长，然后顺时针旋转90°，得到四边形A＇B＇C＇D＇。
2、观察下面图形，分别说出是怎样将△ABC变成另一个与它全等的三角形的。

解：略

【利用全等变换认识全等三角形】
例3：已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°，找出图中的全等三角形，并说明是如何变换的？

解：△ADC≌△BDC，△ADE≌△CDF，△CDE≌△BDF
它们都是绕点O旋转90°得到的。

例4、已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求证：AB=DE.
SHAPE\*MERGEFORMAT
解：∵AB∥DE，AC∥DF∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，
又∵BE=CF∴△ABC≌△DEF∴AB=DE.
△ABC与△DEF的位置关系是将△ABC向右平移后得到△DEF。

例5：如图所示，AB=AC，AD=AE，找出图中的全等三角形，并说明它们之间的关系。
SHAPE\*MERGEFORMAT
解：△ABE≌△ADC，△BDO≌△CEO，它们都是关于直线AO对称的图形。

【全等变换与图案设计】
在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案。

你能用平移、旋转、轴对称来分析各个图案形成的过程吗？你能先设计出一些基本图形，然后利用平移旋转和轴对称设计出美丽的图案吗？不妨利用电脑试一试！

【中考链接】
例6、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在中，，是内任意一点，将绕点顺时针旋转至，使，连结，则.”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了，从而证得.之后，他将点移到等腰三角形之外，原题中其它条件不变，发现“”仍然成立，请你就图②给出证明.

图① 图②
分