（小学中学试题）八年级数学用函数观点看方程(组)与不等式通用版知识精讲.doc

初二数学用函数观点看方程（组）与不等式通用版
【本讲主要内容】
用函数观点看方程（组）与不等式
1.一次函数与一元一次方程的关系
2.一次函数与一元一次不等式的关系
3.一次函数与二元一次方程（组）的关系

【知识掌握】
【知识点精析】
一.一次函数与一元一次方程的关系
由于任何一元一次方程都可以转化为（是常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看这相当于已知直线，确定它与x轴交点的横坐标的值．

二.一次函数与一元一次不等式的关系
由于任何一元一次不等式都可以转化为或（是常数，）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围．从图象上看，解相当于已知直线在x轴上方时，自变量x相应的取值范围；解相当于已知直线在x轴下方时，自变量x相应的取值范围．

三.一次函数与二元一次方程（组）的关系
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．
方程（组）、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用．

【解题方法指导】
例1.（2006年重庆市中考题）
（课改实验区考生做）如图，已知函数的图像交于点P，则根据图像可得，关于的二元一次方程组的解是______．

答案：
点评：本题考查了借助一次函数图象可求二元一次方程组解的知识，两个一次函数图象的交点的坐标，就是二元一次方程组的解．观察图象得该方程组的解为

例2.（2006年陕西省中考题）

甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地．分别表示甲、乙两车行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图所示）．根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；
（2）甲、乙两车哪一辆先到达B地？该车比另一辆车早多长时间到达B地？
O
解：（1）设的函数表达式是，则

解之，得
的函数表达式为
（2）乙车先到达B地．

设的函数表达式是
图像过点
．即
当时，
（小时）
乙车比甲车早小时到达B地．

例3.某单位组织员工到外地旅游，人数估计在10—25人之间．甲乙两个旅行社的服务质量相同，价格都是每人200元，该单位联系时，甲旅行社表示每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以免去一位游客的费用，按八折优惠．问该单位应怎样选择，使其支付的旅游费用较少．
解：设旅游人数为x人，甲旅行社支付的旅游费用为元，乙旅行社支付的旅游费用为元
，即；
当时，（人）
当时，（人）
当时，（人）
答：当人数为16人时，任选其一；当人数在10—15人之间选乙旅行社，人数在17—25人之间选甲旅行社．
点评：本题综合应用了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的知识解决实际问题．

【考点突破】
【考点指要】
用函数观点看一次函数与方程（组）、不等式的应用题是近几年在中考中的新型题，这类问题取材于国情国策、环保生态、市场决策、经济核算、生产生活，具有很强的探索性和灵活性，对学生的数学能力提出了较高的要求，要顺利地解答它，一要具备扎实的数学基础知识和熟练的解题技巧；二是要有较强的阅读能力，能全面深刻地领会题意，特别是其中关键性词语；三要有一定的生产、生活常识，对当前市场经济条件下各种常见的现象有所了解，能抓住它们的本质和规律，恰当地构建出数学模型．

【典型例题分析】
例1.（2006年云南省课改实验区中考题）
如图，直线相交于点P，的函数表达式为，点P的横坐标为，且交y轴于点A（0，-1）．求直线的函数表达式．

解：设点P坐标为（-1，y），代入，得
点P（-1，1）
设直线的函数表达式为，把P（-1，1）、A（0，-1）分别代入
得：，
直线的函数表达式为
点评：本题综合应用了二元一次方程组与一次函数的知识解决实际问题．

例2.（2004年安徽省中考题）某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒广告每播1次收费0.6万元，30秒广告每播1次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次．问：
（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？
（2）电视台选择哪种方式播放收益较大？
解：（1）设15秒广告播放x次，30秒广告播放y次，由题意得：

则
为不小于2的正整数
或
有两种播放次数方式，即15秒广告播放4次，30秒广告播放2次；或15秒广告播放2次，30秒广告播放3次．
（2）若，则（万元）
若，则（万元）
电视台选择15秒广告播放4次、30秒广告播放2次的方式，收益较大．
点评：本题综合