（小学中学试题）初三数学圆和圆的位置关系知识精讲 北京实验版.doc

初三数学圆和圆的位置关系知识精讲
一.本周教学内容：
第二十四章圆（下）
第三节圆和圆的位置关系

二.教学目标：
1、掌握圆和圆的五种位置关系。
2、会用数量关系判定两圆的位置关系。
3、掌握相切两圆和相交两圆的性质。

三.教学重点、难点：
（一）重点：
1、两圆的位置关系和数量关系可转换。
2、相切两圆和相交两圆的性质。

（二）难点：两圆的位置关系和数量关系的转换。

四.教学过程：
（一）知识点：
1、圆和圆的位置关系：
①两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部（如图1），两圆相外离。

图1
②两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，两圆相外切（如图2），称它们的公共点为切点。

图2
③两圆相交：两个圆有两个公共点，两圆相交（如图3）

图3
④两圆相内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆内部。
两圆相内切，称它们的公共点为切点（如图4）

图4
⑤两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆相内含（如图5）

图5
注：据交点的个数，两圆的位置关系分为三大类：
相离 相切 相交
2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距之间的数量关系。
设两圆半径分别为和，圆心距为d，则
（1）两圆外离
（2）两圆外切
（3）两圆相交
（4）两圆内切
（5）两圆内含
注：当d=0时，两圆为同心圆是属于内含的特殊情况。
3、相切两圆的性质：
如果两圆相切，那么切点在连心线上。如图，圆和圆相切（包括内切和外切）于点A，则，A三点在同一直线上。

4、相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图，圆和圆相交于A、B两点，联结AB（公共弦）作直线，则并且平分AB。

例1.已知圆A和圆B相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是多少？
解：设圆B的半径为rcm
当圆A与圆B外切时，，∴r=5cm
当圆A与圆B内切时，（负值舍去）
∴圆B的半径为5cm或11cm。

例2.已知，如图，圆O与圆相交于M、N点，P是AMB的中点，过P、N点作直线交两圆于C、D点，求证：PC=PD。

分析：欲证观察图形，∠CPA=∠DPB
由已知PA=PB，可证
证明：连结AC、DB、MN
∵C、A、M、N四点在同一圆上
∴∠A=∠N
同理可证∠N=∠B
∴∠A=∠B
∵P是AB中点
∴PA=PB
在△PCA和△PDB中
PA=PB，∠A=∠B，∠APC=∠BPD

∴PC=PD

例3.已知：如图，圆和圆外切于P点，过P点作直线交圆O1、圆O2于A、B，联结，。
（1）试问：与有怎样的位置关系？并说明理由。
（2）若将圆与圆外切于P改为内切于P，（1）的结论是否成立？为什么？

分析：猜想，因此应证∠A=∠B，
两圆相切作连心线，可得两个等腰三角形，由等腰三角形的性质证明∠A=∠B。
解：（1）与的位置关系为平行
理由如下：作连心线，则必过P点

∴∠A=∠1，∠B=∠2
∵∠1=∠2
∴∠A=∠B
∴
（2）如图的结论仍成立

作连心线，则必过点P

∴∠A=∠，∠=∠
∴∠A=∠

例4.已知：圆的半径为15，圆的半径为13，圆、圆交于A、B两点，且AB=24，求两圆的圆心距。
分析：题目未给出图形，画图时要考虑两个圆心与公共弦的多种位置关系，再运用相交两圆的性质求解。
解：若圆心，在公共弦AB的两侧，如图a，

图（a）
设交AB于H，联结
∴

若圆心，在公共弦的同侧，如图b

图（b）
同理可得
综上所述，两圆的圆心距为14或4。
小结：圆和圆的位置关系重点在于两圆位置关系的图形描述及d、、的关系，和相交两圆，和相切两圆，应注意基本概念的掌握，在此基础上，在解决问题过程中，应注意所学圆的知识、方法和直线形综合，合理应用。

（答题时间：30分钟）
1、填空：
（1）如果两圆没有公共点，则两圆的位置关系是__________。
（2）两圆半径分别为3和7且圆心距为5，则两圆的位置关系是__________。
（3）半径为1cm和5cm的两个圆相切，则圆心距为__________。
（4）圆和圆的半径之比是5：7，并且两圆外切时，圆心距为6，则圆的半径是__________，圆的半径是__________。
（5）半径为5和4的两圆相交，公共弦长为6，则圆心距为__________。
（6）圆和圆交于A、B两点，，则四边形的面积是__________。
（7）圆和圆的半径是方程的两个根，且，则圆和圆的位置关系是___________。
（8）两个同心圆，大圆半径为5，小圆半径为2，与