（小学中学试题）八年级数学上册 等腰三角形与最短路径问题同步讲练(pdf)(新版)新人教版.pdf

2020-2021学年初二数学上册同步讲练：等腰三角形与最短路径问题讲练

一、知识点

1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；

2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴）

等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等；

②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边）

3、等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形）

等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都是60〬

②等边三角形的每条边都存在三线合一；

4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）

5、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形；

6、在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

7、最短路径的选择

①当两点在某一条直线的两侧时,这两点的最短距离就是连接这两点的线段与直线的交点就是最短路径的点.

②当两点在某条直线的同侧时,这两点到直线上某一点的最短距离的作法:

作任意一个点关于这条直线的对称点,然后再连接对称点与另一点之间的线段,与直线的交点就是最短距离的点的位置.

注意：在解决最短路径的问题时,我们通常利用平移、轴对称等变化把已知问题转化成容易解决的问题,从而作出最短路径的

选择.

二、考点点拨与训练

考点1：等腰三角形的性质

典例：（2020·河北河间初二期末）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠B有怎样的

数量关系？

小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．进而得到△ABD≌△AED，便可得

到∠ACB与∠B的数量关系．请结合小明的思路，写出两个角的数量关系，并证明结论．

【答案】∠ACB＝2∠ABC，证明见详解

【解析】∠ACB＝2∠ABC

证明：延长AC到E，使CE=CD，连接DE

∴∠E＝∠CDE

∵AB=AC+CD∴AE＝AB

又∵AD是∠BAC的平分线

∴∠BAD＝∠CAD

又AD=AD

∴△ABD≌△AED

∴∠B＝∠E

又∵∠ACB＝∠E+∠CDE

∴∠ACB＝2∠ABC

方法或规律点拨

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

巩固练习

1．（2020·山东芝罘初一期中）如图，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，且∠DBC

＝15°，则∠A的度数是（）

A．50°B．36°C．40°D．45°

【答案】A

【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠DBC=15°，

∴∠ABC=∠C=∠A+15°，

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，

解得∠A=50°．

故选：A．

2．（2020·四川成华初一期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，

连接BB′，则∠ABB′的度数是（）

A．30°B．35°C．40°D．45°

【答案】C

【解析】如图，连接BB′

∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，

∴△BAC≌△B′AC′，

∵AB=AC，∠C=70°，

∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，

∴∠BAC=∠B′AC′=40°，

∵∠CAF=10°，

∴∠C′AF=10°，

∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，

∴∠ABB′=∠AB′B=40°，

故选C．

3．（2020·陕西西安高新一中初一期末）如图，ABC中，ABAC,AD是BAC的角平分线，AC的垂直平分线分

别交AC、AD、AB于点EOF、、，则下列结论不一定成立的是（）

A．ADBCB．OCODADC．OAOBD．ACOBOF

【答案】D

【解析】∵是的角平分线，

∴，故A正确；

∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC，

∴AD=OA+OD=OC+OD，故B正确；

∵是的角平分线，

∴CD=BD，AD⊥BC，即AD垂直平分BC，

∴OB=OC，

∴OA=OB，故C正确；

∵是的角平分线，