互反判断矩阵一致性判别中若干问题研究.docx

互反判断矩阵一致性判别中若干问题研究
一、引言
互反矩阵在层次分析法（AHP）中，是非常重要的概念，互反矩阵的矩阵元素是由相应对的互反性得到的。在AHP中，互反矩阵的平均随机一致性指数（CR）作为一致性指标，是评价一致性的重要标准之一。在实际应用中，通过对原始判断矩阵的一致性检验，进一步确定互反矩阵的一致性，提高决策的可靠性。
二、互反矩阵的构建方法
在层次分析法中，构建互反矩阵有两种方法：一是将判断矩阵的逆作为互反矩阵；二是通过求解该判断矩阵的特征向量来得到互反矩阵。
以第一种方法为例，若原始判断矩阵为A，则互反矩阵为B=A^-1，其中，A^-1表示矩阵A的逆矩阵。对于A矩阵，若存在其逆矩阵A^-1，则称A是可逆矩阵，此时有A·A^-1=A^-1·A=I，其中I表示单位矩阵，I的定义是对角线上全为1的方阵，其余元素为0。
若采用第二种构建方法，对于判断矩阵A，求取其特征向量W和对应的特征值λ，有
AW=λW
特征向量构成的矩阵表示为
W=[w1,w2,...,wn]
其中，wi表示λ对应的特征向量。由于特征向量是向量模长为1的非零向量，因此可以任意选择一个特征向量，如w1，规定w1的对应特征值λ1=1，那么有
AW=λ1w1
即
A·(w1,w2,...,wn)=(w1,w2,...,wn)·(λ1,λ2,...,λn)
将(λ1,λ2,...,λn)构成的对角矩阵表示为∑，则上式可写为
A·W=W·∑
令B=∑^-1·W^-1·A·W，其中，W^-1表示矩阵W的逆矩阵，则B为A的互反矩阵。可以看出，这种方法只能得到可能的互反矩阵，因为特征向量的选择有多种可能。
三、互反判断矩阵的一致性判别
在进行决策时，需要对所构建的互反矩阵的一致性进行判断，以提高决策的可靠性。在层次分析法中，通过计算平均随机一致性指数（CR）来评价互反矩阵的一致性。一般情况下，CR值越小，互反矩阵越一致。
计算CR值的方法如下：
假设有n个判断因素，对应的判断矩阵为
A=[a11,a12,...,a1n;
a21,a22,...,a2n;
...，...，...,...
an1,an2,...,ann]
其中aij表示第i个因素相对于第j个因素的判断值。利用判断矩阵的几何平均数求出平均权重向量W=(w1,w2,...,wn)，其中wi表示第i个因素的权重。由平均权重向量W构建互反矩阵B，得到
B=[b11,b12,...,bn1;
b21,b22,...,bn2;
...，...，...,...
bn1,bn2,...,bnn]
其中，bij表示第i个因素与第j个因素之间的权重比值，即wij/wji。
求解B的最大特征值λmax和对应的特征向量V=(v1,v2,...,vn)T，其中，vi表示第i个因素在特征向量V中的权重。对于任意非零向量u=(u1,u2,...,un)T，有
Bu=λu
即
[b11,b12,...,bn1;
b21,b22,...,bn2;
...，...，...,...
bn1,bn2,...,bnn][u1,u2,...,un]T=λ[u1,u2,...,un]T
根据上式可求出特征值λ，再求出最大特征值λmax，有
λmax=∑i=1nbijvi/vi
其中，∑i=1nvi=1。
计算CR值
CR=(CI/RI)
其中，CI=（λmax-n）/(n-1)为一致性指标，RI为平均随机一致性指数，其值由随机生成的一组矩阵产生，具体方法可参见AHP理论。
四、存在的问题
互反矩阵的一致性判别在理论上具有可靠性，但在实际应用中，仍存在一些问题，如下：
1.矩阵大小的影响
当矩阵大小较小时，由于计算出λmax的误差较大，从而导致对CR的估计也有较大的误差。此时，可以通过增加样本大小来提高计算精度。
2.CR值的严格界定
在评价CR值是否合理时，缺少一个严格的界定标准。因此，一般采用经验判断的方法来确定CR的范围，使其符合实际需求。
3.互反矩阵的稳定性问题
对于同一问题，由于判断者的不同或判断时间间隔的不同，可能存在多个互反矩阵。此时，如何选择合适的互反矩阵，需要进一步研究。
4.非完整判断矩阵问题
在实际应用中，判断矩阵可能存在缺省或重复的情况，此时若采用常规方法来构建互反矩阵，可能会造成精度误差。因此，需要进一步研究稳健的构建方法，以应对这种情况。
五、结论
互反判断矩阵一致性判别是AHP中的重要环节，对于提高决策的可靠性具有重要意义。本文分析了互反矩阵的构建方法、一致性判别过程及存在的问题，旨在为研究互反矩阵的一致性判别提供参考。在实际应用中，应注重对互反矩阵的合理构建和一致性判断，以提高决策的可靠性。