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FDTD和TDIE中几个关键问题研究
本篇论文将关注两种常用于求解Maxwell方程的数值方法——时域有限差分（FDTD）和时间域积分方程（TDIE），并分析其中的几个关键问题。FDTD和TDIE均是电磁场数值计算中常见的、最重要的数值方法之一。本文将着重于这两种方法。
1.引言
FDTD（FiniteDifferenceTimeDomain）是一个利用差分法对时域Maxwell方程进行求解的数值方法。FDTD已成为求解电磁波传输、辐射和散射等问题中的基本工具。另一方面，TDIE（TimeDomainIntegralEquation）方法更常用于处理有限尺度问题。从广义上讲，TDIE和FDTD都是在时间域内求解Maxwell方程的有限差分/积分的数值方法。
2.FDTD的关键问题
2.1空间离散问题
FDTD方法的主要问题是将三维Maxwell方程转化为一维时间序列，然后使用有限差分法进行求解。空间离散化是FDTD的主要限制之一。由于FDTD法是基于空间离散化的，对于复杂的几何限制问题，需要对模型进行复杂的网格剖分，从而使计算速度变慢。对于高斯形镜头等比较复杂的结构，使用简单的正交网格会导致计算结果的不精确。
2.2相对尺寸问题
在FDTD方法中，网格尺寸必须要小于或等于电磁波的最小波长的1/10，否则可能会遇到数值超参数问题。但是，这意味着网格尺寸会随电磁波频率增加而减小，这导致了计算复杂性的增加，计算效率降低。另一方面，我们也不能完全放弃准确性，因为电磁波频率的增加会使模型花费大量时间。
2.3电压数值问题
在FDTD方法中，电磁场的电子模型是由Maxwell方程的时间-空间解耦方程解耦解决的。然而，电子模型的数值解往往是在较短的时间段内进行的，而电场和电流的分量模拟是在外部网格中完成的。这样的电子模型提供了一个数值方法，使得在电场场的任何结点周围的任何位置上，可能不会出现电场和电流。
3.TDIE的关键问题
3.1TDIE和FDTD的优劣比较
相对于FDTD法，TDIE法具有很多优势，包括适用于各种形状、无需大量的计算时间来生成精细的有限差分网格、不需要简化电源，并且计算结果可以快速应用于不同的任务。但是，这种方法仍然存在一个问题，即不同于FDTD法，TDIE法需要满足几何形状完美地层次分解，以避免矩形谐波的问题。
3.2TDIE的尺度问题
尺度是TDIE法的一个问题。在许多应用中，电子都是非常小的，因此TDIE法的效果可能会受到限制。TDIE的确切尺度问题与应用有关。例如，在小于单元尺寸的情况下考虑高斯波包时，TDIE法通常会被证明更有效。
3.3TDIE的边界条件问题
针对TDIE的另一个问题是如何选择边界条件。TDIE能够解决的问题包括自由空间、半空间和有限大体积。不幸的是，无论使用哪种边界条件，如果选错了，模型就可能失效。边界条件的选取可以直接的影响计算结果的准确度。因为TDIE法需要满足几何完整性，所以选择正确的边界条件相当于避开了矩形谐波的问题。
4.总结
FDTD和TDIE是两种不同的电动力学计算工具。FDTD法侧重于快速解决动态问题，然后是低维电子模型;TDIE法侧重于处理多维尺度的问题，并且可以快速解决数学问题。在选取解决电磁场问题的方法时，应该考虑不同方法的优缺点，并选择最适合的方法。