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子群的几种广义正规性质和有限群的结构
一、子群的几种广义正规性质
1.极大子群的不变性
对于给定的群G，如果它含有一个极大子群H，即H是G的一个真子群，且对于任意其他的子群K，若H是K的真子群，则K必不是G的子群。那么，H在群G的任何自同构下都是不变的。
证明：设f是G的一个自同构，且H不是f(H)的子群。由于H是极大子群，所以存在一个元素x属于G-H，使得f(H)是H和x组成的生成子群，即f(H)=<H,x>。我们将证明这个假设和H的极大性矛盾。
因为x不属于H，所以存在一个元素h属于H，使得hx不属于H。由于f(H)是H和x组成的生成子群，所以存在整数a和b，使得f(h)=(hx)^a和f(x)=(hx)^b。
因为f是自同构，所以有：
f(hxf(h)^{-1})=f(h)f(x)f(h)^{-1}=(hx)^a(hx)^bf(h)^{-1}=hx(f(h)f(h)^{-1})x^{-1}h^{-1}=xhx^{-1}h^{-1}
因为hx不属于H，所以xhx^{-1}h^{-1}不属于H，因此f(hxf(h)^{-1})不属于H，即f(H)不是K的子群。这就矛盾了极大性的假设，因此H在群G的任何自同构下都是不变的。
2.中心子群的不变性
对于群G，定义它的中心为所有和G中元素交换的元素的集合，即Z(G)={z∈G|zx=xz,∀x∈G}。那么，对于G的任意子群H，Z(G)在H的任何自同构下都是不变的。
证明：设f是H的一个自同构。因为H是G的子群，所以G的中心子群Z(G)包含H的中心子群Z(H)。因此，证明Z(H)在f的作用下不变即可证明Z(G)在f的作用下不变。
对于Z(H)的任意元素z∈Z(H)，以及H中的任意元素h∈H，由于f是H的自同构，所以有f(h^{-1}zh)=(f(h))^{-1}f(z)(f(h))。设f(z)=z'，则有f(h^{-1}zh)=h'^{-1}z'h'，即f(h)^{-1}z'f(h)=z'。因为z'∈Z(G)，所以z'和f(h)交换，即有f(h)z'=z'f(h)。因此，z'∈Z(H)。
所以，Z(H)在f的作用下不变，从而Z(G)在f的作用下不变。
3.美群的性质
一个群称为美群，当且仅当它的所有子群都是正规子群。那么，对于美群G，它的所有子群都在G的任何自同构下都是不变的。
证明：设f是G的一个自同构，H是G的任意子群。因为H是G的子群，所以H在G中是正规的。设a是H中的任意元素，x是G中的任意元素，那么考虑元素f(x)ax^{-1}a^{-1}。如果f(x)∈H，那么在H中，a和x交换，所以f(x)ax^{-1}a^{-1}=f(x)。如果f(x)∉H，那么它在G中的逆元素f(x)^{-1}∈H，即有f(x)f(x)^{-1}=e。则有：
f(x)ax^{-1}a^{-1}=f(x)f(x)^{-1}af(x)^{-1}a^{-1}=e(af(x)^{-1})a^{-1}
因为G是美群，所以af(x)^{-1}a^{-1}∈H。因此，f(x)ax^{-1}a^{-1}∈H。所以，H在f的作用下不变。
因此，美群G的所有子群都在G的任何自同构下都是不变的。
二、有限群的结构
有限群的结构分为很多种情况，其中最关键的是群的阶和Sylow定理。
1.群的阶
群的阶（order）是群元素的数量。对于有限群，设G有n个元素，则称n为G的阶，记作|G|。其中，如果群G是Abel群，即满足g1g2=g2g1对于任意g1,g2∈G，则称G的阶为p1^{a1}p2^{a2}...pk^{ak}，其中pi为互不相同的质数。
2.Sylow定理
Sylow定理是有限群理论中的基础结果，它给出了关于p-子群的某些重要性质。对于群G和质数p，称H是G的一个p-子群，当且仅当H中所有元素的阶都是p的幂次。
Sylow定理的几个重要内容如下：
（1）对于任意群G和任意质数p，G中存在至少一个p-子群。
（2）如果H是G的一个p-子群，那么G中存在一个p-子群K，使得H是K的正规子群。
（3）设Hp表示G中所有p-子群的集合，则Hp的元素个数为1modp，且Hp中任意两个元素都有交集。
（4）设Hp表示G中所有p-子群的集合，Hp的元素个数为n，G的阶为pnk，则H的元素个数为：1、n=p^k；2、n=1。
3.限制了阶次数的Abel群
对于p1^{a1}p2^{a2}...pk^{ak}群阶形式的Abel群G，存在唯一的正常标准形式∏M_{i=1}^kZ_{p_i^{a_i}}，其中Z_{p_i^{a_i}}表示阶为p_i^{a_i}的循环p_i-群。
以上是有限群的一些基本结构和Sylow定理。对于学习群论的同学而言，这些内容应该是最基础的，未来深入研究时还需要更深入的学习。