插值与拟合.pptx

插值与拟合能不能用一个函数图像尽可能多的经过每一点呢？插值拟合插值与拟合的关系插值与拟合的关系内容提纲1、插值问题两点一次(线性)插值多项式:1.1.1Lagrange插值法例1、已知数据表Lagrange插值法的缺点Runge现象的程序(1)Runge现象的程序(2)1.1.2分段插值法分段线性插值分段线性插值1.1.3三次样条插值绘图员解决这一问题是首先把数据点描绘在平面上，再把一根富有弹性的细直条（称为样条）弯曲，使其一边通过这些数据点，用压铁固定细直条的形状，沿样条边沿绘出一条光滑的曲线，往往要用几根样条，分段完成上述工作，这时，应当让连接点也保持光滑。对绘图员用样条画出的曲线，进行数学模拟，这样就导出了样条函数的概念。三次样条插值问题提出即Si(x)=aix3+bix2+cix+dii=0,1,…,nxi≤x≤xi+1（4n个变量）
需要4n个方程
S(xi)=yii=0,1,…,n(n+1个方程）
S(xi-0)=S(xi+0)i=1,…,n-1在xi连续(n-1个方程）
S/(xi-0)=S/(xi+0)i=1,…,n-1在xi连续(n-1个方程）
S//(xi-0)=S//(xi+0)i=1,…,n-1在xi连续(n-1个方程）
再加两个条件:可在边界点x0与xn处给出导数的约束条件，称为边界条件。
（1）S//(x0)=f0//,S//(xn)=fn//
(2)S/(x0)=f0/,S/(xn)=fn/
(3)S//(x0)=S//(xn)=0自然边界条件（2个方程）
可以证明：满足上述4n个线性方程组有唯一解。
总结1.2二维插值二维插值常见可分为两种：网格结点插值和散乱数据插值。
网格结点插值适用于数据点比较规范，即在所给数据点范围内，数据点要落在由一些平行的直线组成的矩形网格的每个顶点上，散乱数据插值适用于一般的数据点，多用于数据点不太规范的情况。注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：
插值函数为：双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。
双线性插值函数的形式如下：已知n个节点1.2.2散乱数据插值法如此定义的曲面是全局相关的，对曲面的任一点作数据计算都要涉及到全体数据，这在大量数据中是很慢的，但因为这种做法思想简单，人们对它进行了种种改进。解在命令窗口输入:例2在飞机的机翼加工时,由于机翼尺寸很大,通常在图纸上只能标出部分关键点的数据.某型号飞机的机翼上缘轮廓线的部分数据如下:x=[04.749.051938577695114133152171190]
y=[05.238.111.9716.1517.116.3414.6312.169.697.033.990]
xi=[0:0.001:190]
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
plot(xi,yi)要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。插值函数griddata格式为:例海底曲面图海底曲面图程序海底曲面图结果3、数据拟合拟合问题引例1曲线拟合的一般提法：已知一组（二维）数据，即平面上n个点（xi,yi)i=1,…n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。常采用的方法是最小二乘拟合法。最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路线性最小二乘法的求解：预备知识线性最小二乘法的求解线性最小二乘拟合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函数{r1(x),…,rm(x)}的选取用Matlab解最小二乘拟合（多项式拟合）方法多项式曲线拟合函数多项式曲线拟合函数多项式曲线拟合函数例某乡镇企业1990-1996年的生产利润如下表：
年份1990199119921993199419951996
利润（万元）70122144152174196202
试预测1997年和1998年的利润。

解作已知数据的的散点图，
x0=[1990199119921993199419951996];
y0=[70122144152174196202];
plot(x0,y0,'*')发现该乡镇企业的年生产利润几乎直线上升。
因此，我们可以用作为拟合函数来预测
该乡镇企业未来的年利润。编写程序如下：

x0=[1990199119921993199419951996];
y0=[70122144152174196202];
a=polyfit(x0,y0,1)
y97=polyval(a,1997)
y98=polyval(a,1998)
求得
1997年的生产利润y97=233.4286，1998年