北京市各区2011年高三数学二模试题分类解析（6） 数列.doc

PAGE-13-
用心爱心专心

六、数列

1、（2011昌平二模理6）.已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则等于（D）
A．9 B．3 C．-3 D．-9
2、（2011东城二模理5）已知正项数列中，，，，则等于（D）
（A）16（B）8（C）（D）4
3、（2011顺义二模理4）.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（D）
ABCD
4、（2011西城二模理7）．已知数列的通项公式为，那么满足的整数（B）
（A）有3个（B）有2个（C）有1个（D）不存在
5、（2011西城二模理14）.数列满足，，其中，
．
①当时，_____；
②若存在正整数，当时总有，则的取值范围是_____.
6、（2011昌平二模文3）数列对任意，满足，且，则等于（A）A．155B．160C．172D．240
7、（2011丰台二模文4）已知数列中，，，则(C)
(A)(B)(C)(D)8、（2011顺义二模文4）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于(C)
ABCD
9、

1(2011朝阳二模理12)已知数列满足，且，则
；并归纳出数列的通项公式
2、（2011海淀二模理13）已知数列满足，，记数列的前项和的最大值为，则.
3、（2011东城二模文14）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于的正整数，且，那么2；
若对于任意的，总存在，使得成立，则5n-3
4、（2011海淀二模文13）已知数列满足且（），
则；=__n_.
5、（2011西城二模文9）已知为等差数列，，则其前项之和为__3___.
6、（2011西城二模文14）数列满足，，其中，．给出下列命题：
①，对于任意，；
②，对于任意，；
③，，当（）时总有.
其中正确的命题是__①③____.（写出所有正确命题的序号）

解答
1（2011昌平二模理20）.(本小题满分13分)
已知数列满足，且对任意，都有．
(Ⅰ）求证：数列为等差数列；
(Ⅱ）试问数列中是否仍是中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令证明：对任意.
解:（Ⅰ），即，……1分
所以，…….2分
所以数列是以为首项，公差为的等差数列．……3分
（II）由（Ⅰ）可得数列的通项公式为，所以．……4分
…….5分
．……7分
因为，……8分
当时，一定是正整数，所以是正整数．
(也可以从k的奇偶性来分析)
所以是数列中的项，是第项．……9分
(Ⅲ)证明：由（2）知：，…..10分
下面用数学归纳法证明：对任意。
(1)当时，显然，不等式成立.…..11分
(2)假设当
当

….12分
即有：也成立。
综合(i)(ii)知：对任意
2、（2011东城二模理20）（本小题共14分）
在单调递增数列中，，不等式对任意都成立.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）判断数列能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设，，
求证：对任意的，.
（Ⅰ）解：因为是单调递增数列，
所以，.
令，，，
所以.………………4分
（Ⅱ）证明：数列不能为等比数列.
用反证法证明：
假设数列是公比为的等比数列，，.
因为单调递增，所以.
因为，都成立.
所以，①
因为，所以，使得当时，.
因为.
所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立.
………………9分
（Ⅲ）证明：观察：，，，…，猜想：.
用数学归纳法证明：
（1）当时，成立；
（2）假设当时，成立；
当时，

所以.
根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.
由已知得，.
所以.
所以当时，.
因为.
所以对任意，.
对任意，存在，使得，
因为数列{}单调递增，
所以，.
因为，
所以.
2、（2011丰台二模理15）.（本小题共13分）
已知等差数列的前项和为，a2=4，S5=35．
（Ⅰ）求数列的前项和；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和．

（Ⅰ）设数列的首项为a1，公差为d．
则∴，………………5分
∴．
∴前项和．………………7分
（Ⅱ）∵，
∴，且b1=e．………………8分
当n≥2时，
为定值，………………10分
∴数列构成首项为e，公比为e3的等比数列．………………11分
∴．………………13分
数列的前n项的和是
3、（2011东城二模文16）（本小题共13分）
已知数列的前项和为,且（）．
（Ⅰ）证明:数列是等比数列；
（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式．
（Ⅰ）证明：由，时，，解得.
因为，则，
所以当时，，
整理得.
又，
所以是首项为1，公比为的等比数列.……………………6分
（Ⅱ）解：因为，
由，得.
可得
＝，（），
当时也满足，
所以数列的通项公式为.…
4、（2011东城二模文20）(本小题共14分)
已知为两个正数，且，设当，时，．
（Ⅰ）求证：数列是递减数