高考数学 命题角度5.doc

命题角度5.4：圆锥曲线的最值范围问题
1.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.
【答案】（1）；（2）

（2）设，，联立得，依题意，，化简得，①，，，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②，由①②得，，∵原点到直线的距离，∴，又∵，∴，∴原点到直线的距离的取值范围是

2.已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若圆的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）的标准方程（Ⅱ）的最大值等于
【解析】试题分析:(1)待定系数法求椭圆方程;(2)借助韦达定理表示的最大值,利用二次函数求最值.
试题解析:
（I），所以,又，解得．
所以椭圆的标准方程．
（II）设，，，易知直线的斜率不为，则设．
因为与圆相切，则，即；
由消去，得，
则，，
，，即，
，
设，则，，
当时等号成立，所以的最大值等于．
3.如图，已知椭圆：的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍．

（Ⅰ）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）求三角形的面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的方程可得点P,A,B的坐标，利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘积为定值-1；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，，，，当直线的斜率不存在时，，故综合的最大值为.
试题解析：
（Ⅰ）．
，故．

或，所以过定点或，
点为右端点，舍去，
，
令（），
，，，
当直线的斜率不存在时，，，
，即，解得，，
，
所以的最大值为.
4已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆的右顶点，，分别为椭圆的上、下顶点.线段的延长线与线段交于点，与椭圆交于点.（1）若椭圆的离心率为，的面积为12，求椭圆的方程；（2）设，求实数的最小值.
【答案】（1）（2）
试题解析：解：（1）是等腰直角三角形，由勾股定理知，
解得，
，，，
则，即，.
所以椭圆的方程为.
（2）设，因为直线的方程为，直线的方程为，
所以联立方程解得.
因为，所以，所以，
所以，所以，，
代入椭圆的方程，得，
即，
所以，
因为所以，所以当且仅当即时，
取到最小值.
5.已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为，的方程为，直线与间的距离为，直线与间的距离为，，从而得到S的范围.

(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；
②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，
设的方程为，的方程为，则的方程为，的方程为，其中，
直线与间的距离为，
同理直线与间的距离为，
所以
，
因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，
所以
，
(当且仅当时，不等式取等号），
所以，即，
由①②可知，.
6.已知椭圆（）的右焦点为，过椭圆中心的弦长为2，且，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，为直线上一动点，直线交椭圆于点，直线交椭圆于点，设分别为，的面积，求的最大值.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：
(1)由题意求得，则椭圆方程为；
(2)由题意求得面积比值的解析式，当且仅当，即时取“”.
试题解析：
解：

（2）设直线，代入中，
得，解得
同理，设直线，带入中，
得，解得

当且仅当，即时取“”
7.已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（1）由垂直平分线的几何意义可知，，满足椭圆的定义。（2）直线与椭圆组方程组，由韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式，可求得．由，得及均值不等式可求得面积的最大值．

（Ⅱ）设．
联立消去，得．
此时有．
由一元二次方程根与系数的关系，得
，．
∴．
∵原点到直线的距离，
∴．
由，得．又，∴据基本不等式，得
．
当且仅当时，不等式取等号．
∴面积的最大值为．
8.已知点，点是直线上的动点，过作直线，，线段的垂直平分线与交于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若点是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，求的取值范围．
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析：（1）利用抛物线定义求解即可；
（2）设出的三个顶点的坐标，表示出的解析式，化简之后可得为关于的方程的两根，然后由韦达定理表示的