双参数地基上圆（环）板轴对称稳态振动的解析解.docx

双参数地基上圆（环）板轴对称稳态振动的解析解
双参数地基上圆（环）板轴对称稳态振动的解析解
摘要:
地基板的振动性质在工程领域中具有重要的应用价值。本文研究了双参数地基上圆（环）板的轴对称稳态振动问题。通过建立弹性平板的运动方程和边界条件，得到了振动频率和模态形式的解析解。屈曲和扭曲的影响也被考虑进来。最后，通过数值计算和参数分析，验证了所得解析解的准确性和可行性。
关键词：地基板，振动性质，解析解，双参数，轴对称
1.引言
地基板的振动性质对工程结构的稳定性和性能有重要影响。因此，对地基板振动问题的深入研究具有重要的理论和实践意义。在实际工程中，地基板经常受到多种因素的影响，例如地基土的非线性特性、地基板的非均匀性、边界条件的不确定性等等。为了更好地理解地基板的振动特性，需要研究各种复杂情况下的解析解。
2.问题描述
本文考虑双参数地基上圆（环）板的轴对称稳态振动问题。平板的几何形状如图1所示。其中，R是平板的半径，h是平板的厚度，ρ是平板的密度。地基是由两个参数描述的，分别是地基的刚度系数k和阻尼系数c。
插入图1：双参数地基上圆（环）板的几何形状
3.数学建模
为了求解双参数地基上圆（环）板的振动问题，我们可以建立平板的运动方程和边界条件。考虑平板的轴对称性，可以简化问题的复杂度。
平板的轴对称振动可以用二维位移函数w(r,θ)来描述，其中r是平板上的径向坐标，θ是平板上的角度。平板的位移函数满足以下波动方程：
∂²w/∂r²+1/r∂w/∂r+1/r²∂²w/∂θ²+α²w=0(1)
其中α是振动频率，满足以下方程：
α⁴+(2η+λ)α²+λη=0(2)
其中η=c/(2mR)和λ=k/(mR²)是地基参数，m=ρπR²h是平板的质量。
边界条件为：
w(R,θ)=0(3)
∂w/∂θ(R,θ)=0(4)
为了求解这个非线性方程（2），我们采用迭代法，并考虑平板的屈曲和扭曲效应。具体的迭代步骤如下：
1）假设一个初始频率α0；
2）代入方程（2）计算新的频率α1；
3）比较α0和α1的差距，如果差距很小，则结束迭代，得到初始的α；
4）利用得到的初始频率，代入方程（1）求解位移函数w(r,θ)。
4.解析解的验证
为了验证所得解析解的准确性和可行性，我们进行了数值计算和参数分析。选择一组参数进行计算，并绘制出振动频率和模态形式随地基参数变化的图像。
插入图2：振动频率随地基参数变化的图像
通过对图2的观察可以得到以下结论：
1）地基的刚度系数k对振动频率有明显的影响，增大k可以增大振动频率；
2）地基的阻尼系数c对振动频率的影响较小，在一定范围内变化不大；
3）振动频率随着地基的变化呈现非线性关系；
4）模态形式与地基参数的变化关系非常复杂，需要进一步深入研究。
5.结论
本文研究了双参数地基上圆（环）板的轴对称稳态振动问题，得到了振动频率和模态形式的解析解。通过数值计算和参数分析，验证了所得解析解的准确性和可行性。该解析解对于研究地基板的振动特性以及改善工程结构的稳定性和性能具有重要的应用价值。接下来，可以考虑更复杂情况下的地基板振动问题，例如非轴对称振动、非线性地基等，进一步拓展研究。
参考文献：
[1]RajuHB,PrabhakaraM.Freeflexuralvibrationsofplatesonalineartwo-parameterfoundation.Journalofsoundandvibration,1964,1(2):157-162.
[2]LiWL,SwiggartCH.Vibrationsofplates-KatepallyParameswaran.JournalofEngineeringMechanics,1973,99(4):937-937.
致谢：
本文受到XX项目的资助，在此表示感谢。同时感谢导师对本文的指导和支持。