2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 18 导数的概念及运算（含解析）.doc

课后限时集训(十八)导数的概念及运算
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一、选择题
1．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()
A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋eq\f(1,x) D．f(x)＝ex＋x
BC[根据题意，依次分析选项：
对于A，f′(x)＝－3sinx，为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．
对于B，f′(x)＝3x2＋1，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意．
对于C，f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意．
对于D，f′(x)＝ex＋1，不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．]
2．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝()
A.eq\f(12－8ln2,1－2ln2) B．eq\f(2,1－2ln2)
C.eq\f(4,1－2ln2) D．－2
C[因为f′(x)＝f′(1)·2xln2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln2＋2，解得f′(1)＝eq\f(2,1－2ln2)，所以f′(x)＝eq\f(2,1－2ln2)·2xln2＋2x，所以f′(2)＝eq\f(2,1－2ln2)×22ln2＋2×2＝eq\f(4,1－2ln2).]
3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝eq\f(1,3)t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是()
A．1秒末 B．1秒末和2秒末
C．4秒末 D．2秒末和4秒末
D[∵s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，
即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]
4．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在x＝0处有公切线，则a＋b＝()
A．－1 B．0
C．1 D．2
C[由题意得f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，∴b＝0.又f(0)＝g(0)，即a＝1，∴a＋b＝1.]
5．(2020·重庆八中月考)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯­137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝600·2，则铯­137含量M在t＝30时的瞬间变化率为()
A．－10ln2(太贝克/年) B．300ln2(太贝克/年)
C．－300ln2(太贝克/年) D．300(太贝克/年)
A[依题意，M(t)＝600·2，∴M′(t)＝－eq\f(1,30)×600×2ln2＝－20×2ln2，∴铯­137含量M在t＝30时的瞬间变化率为M′(30)＝－20×2－1ln2＝－10ln2(太贝克/年)，故选A.]
6．(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为()
A．－2 B．2
C．－e D．e
B[函数f(x)＝xlnx的导数为f′(x)＝lnx＋1，
设切点为(m，n)，可得切线的斜率k＝1＋lnm，
则1＋lnm＝eq\f(n＋e,m)＝eq\f(mlnm＋e,m)，
解得m＝e，故k＝1＋lne＝2.]
二、填空题
7．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(2020)＝6，则f′(－2020)＝______.
8[因为f′(x)＝4ax3－bsinx＋7，
所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7
＝－4ax3＋bsinx＋7.
所以f′(x)＋f′(－x)＝14.
又f′(2020)＝6，
所以f′(－2020)＝14－6＝8.]
8．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
y＝2x[设切点坐标为(x0，lnx0＋x0＋1)．由题意得y′＝eq\f(1,x)＋1，则该切线的斜率k＝eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.]
9．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为________．
(1，－1)或(－1,1)[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\