上海市复旦实验中学2015届高三上学期期中考试数学试题 WORD版含解析.doc

上海市复旦实验中学2014学年度高三学科测试
数学试卷（理科）2014.11
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分，请在相应的空格内填上正确的答案，每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知集合，，则.
解析：，.
2.函数的最小正周期为.
解析：，所以最小正周期.
3.已知的展开式中，的系数为，那么实数.
解析：，令.
4.已知集合，，若，则实数的所有可能取值组成的集合为.
解析：分类讨论，不要忘了空集的情况：.
5.在中，角所对的边长分别为.若，则最大角为.
解析：由正弦定理可得，有余弦定理即可得最大角的余弦值，即.
6.已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球.现从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为.（结果精确到0.001）
解析：
7.在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，若直线的倾斜角为，则的值为.
解析：很明显，所以，即.
8.若函数在上单调递增，则的取值范围是.
解析：在上单调递增，内函数在上递增且函数值大于0，所以.
9.若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为.
解析：轴截面是边长为，则底面半径，母线，所以侧面积为.

10.已知定义在上的函数与的图像相交与点，过点作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长度为.
解析：,.
11.已知函数满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是.
解析：，所以，
即.
12.设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是.
解析：为偶函数，，结合图形可知.
13.设函数的定义域为，其中.
若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在区间上的最大值与最小值之和为.
解析：令，定义域为，则有在区间上的最大值为5，最小值为2，
当为偶函数时，在区间上的最大值为5，最小值为2，此时在区间上的最大值与最小值之和为9；
当为偶奇函数时，在区间上的最大值为-2，最小值为-5，此时在区间上的最大值与最小值之和为-5；
综上，应填或
14.已知命题“，，则集合”是假命题，则实数的取值范围是.
解析：原命题为假命题，即在上有解.显然.
当时，结合函数图像可得，无解；
当时，结合函数图像可得，
所以，.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，请在括号内填上正确的选项，选对得5分，否则一律得0分.
15.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）
A.B.C.D.解析：有各函数的基本性质即可知符合题意，选择.
16.在钝角中，“”是“”的（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：能得到，反之不一定成立，还可以为.
17.已知函数，其中，，则下列判断正确的是（）
A.当时，的最小值为B.当时，的最小值为C.当时，的最小值为D.当时，的最小值为解析：，令，结合函数图像，可得到当时，取到最小值，所以选择C.

18.给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且仅有一个实数解；④若是该方程的实数解，则.其中正确的命题个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析：，的解就等价于函数与的交点个数，作出图像即可判断只有①不对；所以选择C.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
如图，直三棱锥中，，.
=1\*GB2⑴求直三棱锥的体积；
D
=2\*GB2⑵若是的中点，求异面直线与所成的角.

解析：∵且，
∴.
D
=1\*GB2⑴；
=2\*GB2⑵如图，取中点，连接、，又是的中点，
所以，所以即为异面直线与所成的角.
计算可得，，
在中，由余弦定理可得，
即异面直线与所成的角为.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数，且的最大值为1.
=1\*GB2⑴求的值，并求的单调递增区间；
=2\*GB2⑵在中，角的对边为，若，且.试判断的形状.

解析：=1\*GB2⑴∵
∴即；
令，得的单调递增区间为；
=2\*GB2⑵，
∴，又，
∴，
即，故，
所以为钝角三角形.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．
=1\*GB2⑴该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？