高三数学代数解答题选讲（文）人教实验版（A）知识精讲.doc

高三数学代数解答题选讲（文）人教实验版（A）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
代数解答题选讲

二.重点、难点
1.三角、向量、综合
2.函数、导数、综合
3.数列、综合

【典型例题】
[例1]在中，所对边分别为。
已知，且。
（I）求大小。
（II）若求的面积S的大小。
解：（=1\*ROMANI）∵，
∴＝0
∴
∵
∴
∵∴
∴
∵∴
（II）△中，
∵∴。
∴∴
∴△的面积

[例2]已知函数的导数为实数，。
（I）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；
（II）在（I）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；
（III）设函数，试判断函数的极值点个数。
解：（I）由已知得，
由，得，。
∵，，
∴当时，，递增；
当时，，递减。
∴在区间上的最大值为，∴。
又，，
∴。
由题意得，即，得。
故，为所求。
（II）解：由（1）得，，点在曲线上。
（1）当切点为时，切线的斜率，
∴的方程为，即。
（2）当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率，
∴的方程为。
又点在上，∴，
∴，
∴，
∴，即，∴。∴切线的方程为。
故所求切线的方程为或。
（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意。）
（Ⅲ）解：。
∴
。
二次函数的判别式为
，
令，得：
令，得
∵，，
∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；
当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点。

[例3]数列中，，其前项的和为。
（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求的表达式；
（Ⅲ）求证：。
（=1\*ROMANI）证明：
∵
∴
∵，
∴＝
是首项为2，公差为1的等差数列。
（=2\*ROMANII）解：
=，

=。
（=3\*ROMANIII）证明：，

。

。

[例4]中，角A、B、C所对的边分别为、、，已知

（1）求的值；
（2）求的面积。
解：（1）由，得
为锐角，，

（2）
又，，得，

（若通过得出，求出，
未舍去，得两解，扣2分。）

[例5]数列满足，（），且从第二项起是公差为的等差数列，是的前项和。
（1）当时，用与表示与；
（2）若在与两项中至少有一项是的最小值，试求的取值范围；
（3）若为正整数，在（2）的条件下，设取为最小值的概率是，取为最小值的概率是，比较与的大小。
解：（1）由已知，当时，，即。

。
（2）解法一：由已知，当时，是等差数列，公差为，数列递增。
若是的最小值，则，即，得。
若是的最小值，则，即，得。
∴当与两项中至少有一项是的最小值时，的取值范围是。
（2）解法二：由（1），当时，，且也满足此式，
∵在与两项中至少有一项是的最小值，
∴，
解得，从而的取值范围是。
（3）由（2）知，，26，…，}
若是的最小值，则，即
若是的最小值，，即
∴。

[例6]已知二次函数（）。
（1）当０＜＜时，（）的最大值为，求的最小值；
（2）对于任意的，总有||。试求的取值范围；
（3）若当时，记，令，求证：成立。
解：⑴由知故当时取得最大值为，
即，
所以的最小值为；
⑵对于任意的，总有||，
令，则命题转化为，
不等式恒成立，
当时，使成立；
①

②
当时，有
对于任意的恒成立；
，则，故要使①式成立，
则有，又，故要使②式成立，则有，由题。
综上，为所求。
（3）由题意，
令
则

在时单调递增，。
又，
，综上，原结论成立。

[例7]已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小
解：解法一由
得
所以
即
因为所以，从而
由知从而。
由
即
由此得所以
解法二：由
由、，所以即
由得
所以
即 因为，所以
由从而，知B+2C=不合要求。
再由，得所以

[例8]在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3。
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）令，求数列{cn}的前n项和Tn。
解：（1）由条件得：
（2）①
∴6Tn=6+6×62+11×63+…+（5n－4）6n②
①－②：

∴

[例9]定义域为R的偶函数，方程在R上恰有5个不同的实数解。
（1）求x<0时，函数的解析式；
（2）求实数a的取值范围。
解：（1）设x<0，则－x>0
∵为偶函数，∴
（2）∵为偶函数，∴=0的根关于0对称。
由=0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根。
且两个正根和二个负根互为相反数
∴原命题图像与x轴恰有两个不同的交点
下面研究x>0时的情况
∵
即为单调增函数，故不可能有两实根
∴a>0令