高三数学等比数列人教实验版（B） 知识精讲.doc

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高三数学等比数列人教实验版（B）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
等比数列

二.教学内容：
等比数列的定义、通项、前n项和及其应用

三.教学重点：
等比数列

四.课标要求
1.通过实例，理解等比数列的概念；
2.探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式；
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。

五.命题走向
等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考查等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。
预测08年高考对本讲的考查为：
（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目；
（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；
（3）解决问题时注意数学思想的应用，像通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考查考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

【教学过程】
一、基本知识回顾
1.等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：。（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
2.等比数列通项公式为：。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比q=1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）由等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。
3.等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。
4.等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当q=1时，（错位相减法）。
说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是，不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。

【典型例题】
例1.“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：四个命题中只有最后一个是真命题。选A
命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；
命题2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，当首项a1<0时，an<0，则an>an，即an+1>an，此时该数列为递增数列；
命题3中，若a=b=0，c∈R，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。
点评：该题通过选择题的形式考查了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。

例2.命题1：若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；
命题2：若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0)，则数列{an}是等差数列；
命题3：若数列{an}的前n项和Sn=na－n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解：由命题1得，a1=a+b，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比数列，则=a，即=a，所以只有当b=－1且a≠0时，此数列才是等比数列。
由命题2得，a1=a+b+c，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差数列，则a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有当c=0时，数列{an}才是等差数列。
由命题3得，a1=a－1，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=a－1，显然{an}是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a－1≠0；即a≠1时数列{an}才又是等比数列。
点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是an=，正确判断数列{an}是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择A。

例3.（2000全国理，20）（Ⅰ）已知数列｛cn｝，其中cn＝2n＋3n，且数列｛cn＋1－pcn｝为等比数列，求常数p；（Ⅱ）设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列｛cn｝不是等比数列。
解：（Ⅰ）解：因为｛cn＋1－pcn｝是等比数列，
故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1），
将cn＝2n＋