专升本极限专题.docx

极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；等等
（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）SKIPIF1<0
（2）SKIPIF1<0
（3）SKIPIF1<0
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限
（1）SKIPIF1<0
（2）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；等等。
4．等价无穷小
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3当SKIPIF1<0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
SKIPIF1<0～SKIPIF1<0～SKIPIF1<0～SKIPIF1<0～SKIPIF1<0～SKIPIF1<0～SKIPIF1<0。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成SKIPIF1<0时（SKIPIF1<0），仍有上面的等价
关系成立，例如：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0～SKIPIF1<0；SKIPIF1<0～SKIPIF1<0。
定理4如果函数SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0时的无穷小，且SKIPIF1<0～SKIPIF1<0，SKIPIF1<0～SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0存在时，SKIPIF1<0也存在且等于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。
5．洛比达法则
定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0满足：（1）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的极限都是0或都是无穷大；
（2）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都可导，且SKIPIF1<0的导数不为0；
（3）SKIPIF1<0存在（或是无穷大）；
则极限SKIPIF1<0也一定存在，且等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“SKIPIF1<0”型或“SKIPIF1<0”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性
定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的定义去间内的一点，则有SKIPIF1<0。
7．极限存在准则
定理7（准则1）单调有界数列必有极限。
定理8（准则2）已知SKIPIF1<0为三个数列，且满足：
（1）SKIPIF1<0
（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0
则极限SKIPIF1<0一定存在，且极限值也是a，即SKIPIF1<0。
二、求极限方法举例
用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1SKIPIF1<0
解：原式=SKIPIF1<0。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2SKIPIF1<0
解：原式=SKIPIF1<0。
例3SKIPIF1<0
解：原式SKIPIF1<0。
利用函数的连续性（定理6）求极限
例4SKIPIF1<0
解：因为SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个连续点，
所以原式=SKIPIF1<0。
利用两个重要极限求极限
例5SKIPIF1<0
解：原式=SKIPIF1<0。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6SKIPIF1<0
解：原式=SKIPIF1<0。