充要条件练习题.docx

第一章1.2第2课时

一、选择题
1．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]C
[解析]当a＝1时，直线x－ay＝0化为直线x－y＝0，∴直线x＋y＝0与直线x－y＝0垂直；
当直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直时，有1－a＝0，∴a＝1，故选C.
2．m＝eq\r(3)是直线eq\r(3)x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]A
[解析]由圆心(1,0)到直线eq\r(3)x－y＋m＝0距离d＝eq\f(|\r(3)＋m|,2)＝eq\r(3)得，m＝eq\r(3)或－3eq\r(3)，故选A.
3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]C
[解析]因为A∪B＝C，故“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．
4．“lgx>lgy”是“eq\r(x)<eq\r(y)”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]A
[解析]lgx>lgy⇒x>y>0⇒eq\r(x)>eq\r(y)；而x＝2，y＝0时，eq\r(x)>eq\r(y)eq\o(⇒,/)lgx>lgy，故“lgx>lgy”是“eq\r(x)>eq\r(y)”的充分不必要条件．
5．设命题甲为：0<x<5，命题乙为：|x－2|<3，那么甲是乙的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]A
[解析]解不等式|x－2|<3得－1<x<5，
∵0<x<5⇒－1<x<5但－1<x<5eq\o(⇒,/)0<x<5，
∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.
6．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]A
[解析]∵l⊥α，m⊂α，n⊂α，∵l⊥m且l⊥n，故充分性成立；又l⊥m且l⊥n时，m、n⊂α，不一定有m与n相交，∴l⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.
二、填空题
7．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的__________________条件．
[答案]必要不充分
[解析]若a与b夹角为钝角，则a·b<0，反之a·b<0时，如果a与b方向相反，则a与b夹角不是钝角．
8．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合__________________．
[答案]{－5,5，－10}
[解析]①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；
③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.
三、解答题
9．方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？
[解析]由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋32－4m1－m>0,\f(1－m,m)<0))，
∴m>1或m<0，
即所求充要条件是m>1或m<0.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[证明]充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1时也成立．
于是eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
∵p≠0且p≠1，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，
∵{an}为等比数列，
∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(an＋1,an)＝p，即eq\f(pp－1,p＋q)＝p，
∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.
综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．

一、选择题
1．设{an}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既