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学科：数学教学内容：充分条件与必要条件【基础知识精讲】
1.对充要条件的理解
对于命题“若p则q”，即p是条件，q为结论.
(1)如果已知pq，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
例如，“若x=y,x2=y2”是一个真命题，可写成
x=yx2=y2
“x=y”是“x2=y2”的充分条件，
“x2=y2”是“x=y”的必要条件.
(2)如果既有pq，又有qp，就记作
pq.
这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.
例如，命题p：x+2是无理数，
命题q：x是无理数.
由于“x+2是无理数”“x是无理数”，所以p是q的充要条件.
2.从逻辑推理关系上看
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系：
①若pq，但qp，则p是q的充分但不必要条件；
②若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；
③若pq，且qp，则p是q的充要条件；
④若pq，且┒p┒q，则p是q的充要条件；
⑤若pp，且qp，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
3.从集合与集合之间关系上看
若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则
①若AB，则p是q的充分条件；
②若AB，则p是q的必要条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若AB，且AB，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
从集合的观点来判断充要条件的思考方法，可以进一步加深对充要条件的理解.
4.应用充分条件，必要条件，充要条件时须注意的问题.
(1)充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件，反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：
①确定条件是什么，结论是什么；
②尝试从条件推结论，结论推条件；
③确立条件是结论的什么条件；
④要证明命题的条件是主要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.
(2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语.
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的.

【重点难点解析】
本小节重点是充分条件、必要条件、充要条件的概念及命题真假的判断.难点是对“若p则q”命题中，p是q(或q是p)的什么条件的判断问题.
首先要注意“条件”和“结论”是可以相互转化的.也就是说“pq”中p和q都可认为是条件(或结论)，只不过一个是条件则另一个就可认为是结论.其次，充分条件和必要条件是同时定义的，亦即对“pq”而言，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.
例1请在下列各题中选出(A)充分不必要条件，(B)必要不充分条件，(C)充分必要条件，(D)既不充分也不必要条件四个选项中最恰当的一项填空：
(1)p∶(x-1)(x+2)=0是q∶x=-2的.
(2)p∶x＞5是q∶x＞3的.
(3)p∶0＜x＜5是q∶｜x-2｜＜3的.
(4)p∶x≤2是q∶x＜2的.
解：(1)p=｛x｜(x-1)(x+2)=0｝q=｛x｜x=-2｝，即qp，∴填B.
(2)p=｛x｜x＞5｝q=｛x｜x＞3｝，∴填A.
(3)p=｛x｜0<x＜5q=｛x｜｜x-2｜＜3｝，∴填A.
(4)p=｛x｜x≤2｝q=｛x｜x＜2，∴填B.
评析对于涉及范围问题的充要条件的判断，可利用集合观点：pq时，称p是q的充分不必要条件.可用“小范围推出大范围”帮助记忆.
例2是的什么条件?并说明理由.
解：但反之却不一定成立.
例如取α=1,β=5,显然满足
但不满足所以是的必要但不充分条件.
评析此例中由于
但不能推出所以根据箭头推出方向可知是的必要但不充分条件.
例3已知p∶x2-8x-20＞0，
q∶x2-2x+1-a2＞0.
若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.
分析利用数轴观察，能找到解题途径.
解：p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，
q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0
如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有

解得0＜a≤3.
∴实数a的取值范围是0＜a≤3.
例4设A=｛x｜-2≤x≤a｝，B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝，M=｛Z｜Z=x2,x∈A｝.求使MB的充要条件是什么?
解：∵A=｛x｜-2≤x≤a｝,M=｛Z｜Z=x2,x∈A｝.
∴B=｛y｜y=2x+3,x∈A｝=｛y｜-1≤y≤2a+3｝.
当-2≤a＜0时，M=｛Z｜a2≤Z≤4｝.
当0≤a≤2时，M=｛Z｜0≤Z≤4｝.
当a＞2时，M=｛Z｜0≤Z≤a2｝.
∴当-2≤a＜2时，
MB4≤2a+3，即≤a≤2；
当a