10.5直线与平面垂直.doc

用心爱心专心

10.5直线与平面垂直
【知识网络】
1、直线与平面垂直的性质与判定；
2、点到平面的距离，直线到平面的距离；
3、直线与平面的所成角及直线在平面内的射影。
【典型例题】
例1：（1）平面过△ABC的重心，B、C在的同侧，A在的另一侧，若A、B、C到平面的距离分别为a、b、c，则a、b、c间的关系为()
（A）2a=b+c；（B）a=b+c；（C）2a=3(b+c)；（D）3a=2(b+c)．
答案：B解析：B、C中点到平面的距离为，∴即
（2）已知正△ABC的边长为，则到三个顶点的距离都为1的平面有()
（A）1个；（B）3个；（C）5个；（D）7个．
答案：C解析：三点在同一侧的有2个，过两边的中点且垂直第三边上的中线的平面有3个，共5个。
（3）设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）
A、，若，则B、，，若，则
C、，若，则D、，是在内的射影，若，则
答案：C解析：C的逆命题是,若，则显然不成立。
（4）已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形一定是.
答案：解析：显然，即平行四边形ABCD一定是菱形
（5）P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，则O是△ABC的心；若P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的心；若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的心．
答案：内心、外心、垂心；解析：由内心、外心、垂心的性质可知。
例2：已知中，面，，求证：面．

答案：证明：
又面面，又，面
例3．如图，已知CD是异面直线CA、DB的公垂线，CA于A，DB于B，∩=EF．
求证：CD∥EF．
δ



F
E
D
C
B
A
B1
A1

答案：证明：设CD、CA确定平面，∩=AA1．∵CA于A，∴CAAA1．又∵CACD，CA、CD、AA1都在平面内，∴CD∥AA1．设CD、DB确定平面δ，δ∩=BB1．同理有CD∥BB1，∴BB1∥CD∥AA1．AA1α，BB1α，∴BB1∥．
∵BB1，∩=EF，∴EF∥CD．
N
M
G
F
E
D
C
B
P
A
Q
例4：如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，
G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，
F是PB上的一点，且PF=PB．
求证：（1）GF平面PBC；
（2）FEBC；（3）GE是异面直线PG与BC的公垂线．
N
M
G
F
E
D
C
B
P
A
Q
证明：（1）连结BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，在△PBM中，∵PF=PB，G是△PAB的重心，∴MG=BM，∴GF∥PM．又PAPB,PAPC，∴PA平面PBC，则GF平面PBC．
（2）在EC上取一点Q使CQ=BC，连结FQ，又PF=PB，∴FQ∥PC．∵PB=PC，∴FB=FQ．∵BE=BC，∴E是BQ的中点，∴FEBQ，即FEBC．
（3）连结GE．∵GF平面PBC，∴易得GEBC．取BF中点N，连结EN，则EN∥FQ∥PC．∵PC平面PAB，∴EN平面PAB．又∵NG∥DB，∴NGPD，易EGPD，∴GE是异面直线PG与BC的公垂线．
【课内练习】
1．如果平面外一条直线与内的两条直线垂直，那么与的位置关系是（）
A．l⊥ B．l∥ C．l与相交且不垂直 D．不能确定
答案：D。解析：因两条直线的位置不能确定。
2.若斜线和平面所成的角为，此斜线与此平面内任一直线所成的角为，则（）
A.≤B.=C.≥D.与的大小关系不确定
答案：A.解析：直线与平面的所成角为斜线与平面任一直线所成角的最小角.
3．表示不同的点，表示不同的直线，表示不同的平面，下列推理错误的是（）
A．B．
C．D.A,B,C∈α，A,B,C∈β，且A,B,C不共线α与β重合
答案：C解析：作图分析即可知。
4．AC是平面的斜线，且AO=a，AO与成60º角，OC，AA＇⊥于A＇，∠A＇OC=45º，则A到直线OC的距离是，∠AOC的余弦值是.
答案：、；解析：由三余弦定理可得.
5.已知△ABC中，A，BC∥，BC=6，BAC=90，AB、AC与平面分别成30、45的角．则BC到平面的距离为．
答案：；解析：设BC到平面α的距离为h，则∴.
6.AB∥CD，它们都在平面内，且相距28．EF∥，且相距15．EF∥AB，且相距17．则EF和CD间的距离为．
答案：25或39；解析：EF在α内的射影可以在AB、CD之间或在AB、CD的外面.
P
A
B
C
D
N
M
7．已知：如图,PA矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点．
⑴求