数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序.docx

数值分析第五次程序作业

PB09001057孙琪
【问题】
分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；
用如上程序计算积分：If=04sinxdx
取节点xi，i=0,…,N,N为2k,k=0,1,…,12，并分析误差；
简单分析你得到的数据。

【复化Simpson积分公式】
Simpson法则：
abfxdx≈b-a6[fa+4fa+b2+fb]
使用偶数个子区间上的复合Simpson法则：
设n是偶数，xi=a+ih,h=b-an,(0≤i≤n)
则有abfxdx=x0x2fxdx+x2x4fxdx+…+xn-2xnfxdx=i=1n2x2i-2x2ifxdx
将Simpson法则应用于每一个区间，得到复合Simpson法则：
abfxdx≈h3[fx0+2i=2n2fx2i-2+4i=1n2fx2i-1+fxn]
公式的误差项为：
-1180b-ah4f4(δ)
其中δ∈(a,b)
【复化梯形积分公式】
梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：
abfxdx≈b-a2[fa+fb]
如果划分区间[a,b]为：
a=x0<x1<…<xn=b
那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：
abfxdx=i=1nxi-1xifxdx≈12i=1nxi-xi-1[fxi-1+fxi]
对等间距h=(b-a)/n及节点xi=a+ih，复合梯形法则具有形式：
abfxdx≈h2[fa+2i=1n-1fa+ih+fb]
误差项为：-112b-ah2f''(δ)

【算法分析】
复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。

【实验】
通过Mathematica编写程序得到如下结果：
利用复化Simpson积分公式得：

可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。

利用复化梯形积分公式得：

可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。

【分析】
通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间内，复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。

【程序】
Mathematica程序为：
复合Simpson法则：

复合梯形法则：