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2024-11-05
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最速下降法
算法原理
最速下降法的搜索法向是目标函数的负梯度方向,最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进,直到到达目标函数的最低点。
已知目标函数在点的梯度为:

当求目标函数的最小点时,由于函数沿负梯度方向下降最快,故在点的探索方向应取该点的负梯度方向,即

显然,为单位向量。这样第次迭代计算所得的新点为

负梯度仅给出了最优化方向,而没有给出步长的大小,所以可能有各种各样的最速下降的过程,它们依赖于的大小。
步长有两种取法:
一种方法是任意给定一个初始步长,使满足条件:

另外一种方法是沿负梯度方向做一维探索,以求解一维最优化问题的最优步长,即对目标函数极小,以得到最优步长:

以此最优步长作为由点出发沿该点的负梯度方向探索的步长。
这种方法的迭代计算的收敛性,可用以下三式中的任一式或二式作为准则来进行判断:

算法步骤
用最速下降法求无约束多维极值问题的算法步骤如下:
取初始点,精度,令
计算搜索方向,其中表示函数在点处的梯度;
若,则停止计算;否则,从出发,沿进行一维搜索,即求,使得。此处的一维搜索可以用黄金分割法等算法,当然也可以用MATLAB的函数;
令,转步骤(2)。
算法的MATLAB实现
在MATLAB中编程实现的最速下降法函数为:
功能:用最速下降法求解多维函数的极值。
调用格式:
其中,:为目标函数;
:初始点;
:自变量向量;
:精度;
:目标函数取最小值时的自变量值;
:目标函数的最小值。
最速下降法的MATLAB程序代码如下:
function[x,minf]=minFD(f,x0,var,eps)
%为目标函数:f;
%初始点:x0;
%自变量向量:var;
%精度:eps;
%目标函数取最小值时的自变量值:x;
%目标函数的最小值:minf;
formatlong;
ifnargin==3
eps=1.0e-6;
end
symsl;
tol=1;
whiletol>eps
gradf=-jacobian(f,var);%负梯度方向
v=Funval(gradf,var,x0);
tol=norm(v);
y=x0+l*v;
yf=Funval(f,var,y);
[a,b]=minJT(yf,0,0.1);
xm=minHJ(yf,a,b);%用黄金分割法进行一维搜索
x1=x0+xm*v;
x0=x1;
end
x=x1;
minf=Funval(f,var,x);
formatshort;

例:
用最速下降法求函数极小值,取初始点取

解:在MATLAB命令窗口中输入:
symsts;
f=(t-4)^2+(s+2)^2+1;
[x,mf]=minFD(f,[1-3],[ts])
所得结果为:
x=

4.0000-2.0000


mf=

1




例:
试用最速下降法求目标函数的极小值,设初始点;收敛要求。
解:原函数的梯度,在点的梯度为。
梯度的模为
梯度的负方向为



令,求出,算得

梯度的模为
根据收敛准则,,故未达到要求,应继续探索。下一步探索放向为



,得到


未达到收敛要求,所以还应继续探索,下一步探索方向为



得到:


继续探索,当探索到点时,,达到预定的收敛要求,因而可认为为最优点,而为极小值。
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