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洛必达法则失效的种种情况及处理方法
今天我在看书时，看到这样一道题SKIPIF1<0，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。
洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则SKIPIF1<0的三个条件：
（1）SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）；
（2）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点的某个去心邻域内可导；
（3）SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）。
其中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
而对于极限问题SKIPIF1<0来说，因为SKIPIF1<0不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
【问题】求极限SKIPIF1<0。
【解】对于任何足够大的正数SKIPIF1<0，总存在正整数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，也就是说总存在正整数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0。
这样SKIPIF1<0就等价于SKIPIF1<0，所以
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0，
这里前面一项注意到了函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，而后面一项作了令SKIPIF1<0的换元处理。最后注意到积分值SKIPIF1<0的有界性（SKIPIF1<0）。
如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。
【问题2】求极限（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0。
【分析与解】（1）这是SKIPIF1<0型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到
SKIPIF1<0，
可知洛必达法则失效，处理的方法是
SKIPIF1<0。
（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
SKIPIF1<0，
可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘SKIPIF1<0，得到
SKIPIF1<0。
【问题3】求极限SKIPIF1<0。
【分析与解】这是SKIPIF1<0型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第三个条件
SKIPIF1<0
完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。正确有效的方法是作换元，令SKIPIF1<0，这样就有
SKIPIF1<0。
还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例在本博客“2008考研数学辅导系列之24（4月14日博文《泰勒公式的应用》）”一文中的
【例1】求极限SKIPIF1<0问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了．

中值定理总结
中值定理一向是经济类数学考试的重点
所证式仅与ξ相关
①观察法与凑方法
SKIPIF1<0
②原函数法
SKIPIF1<0
③一阶线性齐次方程解法的变形法
SKIPIF1<0
2、所证式中出现两端点
①凑拉格朗日
SKIPIF1<0
②柯西定理
SKIPIF1<0
③k值法
SKIPIF1<0
④泰勒公式法
老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。
3、所证试同时出现ξ和η
①两次中值定理
SKIPIF1<0
②柯西定理（与之前所举例类似）
有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。