第七章 第40讲.docx

第40讲一元二次不等式
考试要求1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系(B级要求)；2.求解一元二次不等式(C级要求).
诊断自测
1.(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是________.
解析解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，
由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞).
答案(－∞，－2)∪(5，＋∞)
2.(扬州市2019届高三上学期期中)不等式eq\f(x＋1,x)<2的解集为________.
解析eq\f(x＋1,x)<2，即eq\f(1－x,x)<0等价于(1－x)x<0，
∴不等式的解集是(－∞，0)∪(1，＋∞).
答案(－∞，0)∪(1，＋∞)
3.(教材改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，则a＋b＝________.
解析∵x1＝－eq\f(1,2)，x2＝eq\f(1,3)是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)－\f(b,2)＋2＝0，,\f(a,9)＋\f(b,3)＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))∴a＋b＝－14.
答案－14
4.(必修5P78例3改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本C＝500＋30x元.若使得日获利不少于1300元，则该厂日产量所要满足的条件是__________.
解析由题意得(160－2x)·x－(500＋30x)≥1300，解得20≤x≤45.
答案[20，45]
5.(必修5P80习题8改编)若不等式x2－2x＋k2－2>0对于任意的x∈[2，＋∞)恒成立，则实数k的取值范围是________.
解析由x2－2x＋k2－2>0，得k2>－x2＋2x＋2，设f(x)＝－x2＋2x＋2，f(x)＝－(x－1)2＋3，当x≥2，可求得f(x)max＝2，则k2>f(x)max＝2，所以k>eq\r(2)或k<－eq\r(2)
答案(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)
知识梳理
1.“三个二次”的关系
判别式
Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集(－∞，x1)∪(x2，
＋∞)(－∞，－eq\f(b,2a))∪
(－eq\f(b,2a)，＋∞)R一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集(x1，x2)∅∅2.常用结论
(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}口诀：大于取两边，小于取中间.
3.分式不等式的等价变形
(1)eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.
考点一一元二次不等式及分式不等式的解法
【例1】解下列关于x的不等式.
(1)－6x2－5x＋1<0;(2)eq\f(x＋1,x)≤3.
解(1)原不等式转化为6x2＋5x－1>0，方程6x2＋5x－1＝0的解为x1＝eq\f(1,6)，x2＝
－1.根据y＝6x2＋5x－1的图象，可得原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>\f(1,6))).
(2)原不等式变形为eq\f(x＋1,x)－3≤0，即eq\f(2x－1,x)≥0，
所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(1,2)，或x<0)).
规律方法(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为eq\f(x－a,x－b)<0(a<b)或者eq\f(x－a,