第七章 第43讲.docx

第43讲不等式恒成立问题
考试要求1.不等式包含两个元的情况(C级要求)；2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.
诊断自测
1.设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2，2]上变化时y恒取正值，则实数x的取值范围为________.
解析设f(t)＝y＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，t∈[－2，2]，
问题转化为：f(t)＞0对t∈[－2，2]恒成立
⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(f（－2）>0，,f（2）>0)))
⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(（log2x）2－4log2x＋3>0，,（log2x）2－1>0)))
⇒0＜x＜eq\f(1,2)或x＞8.
故实数x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(8，＋∞).
答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(8，＋∞)
2.不等式eq\f(2x2＋2mx＋m,4x2＋6x＋3)＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为________.
解析由4x2＋6x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0，对一切实数x恒成立，从而原不等式等价于
2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)，
即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0对一切实数x恒成立.
则Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，
解得1＜m＜3，
故实数m的取值范围是(1，3).
答案(1，3)
3.(一题多解)已知f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)＞0在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))上恒成立，则实数a的取值范围为________.
解析法一∵f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)＞0对x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))恒成立
⇔x2＋2x＋a＞0对x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))恒成立.
设g(x)＝x2＋2x＋a，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))，
问题转化为：g(x)min＞0
g(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1,x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))，
∴g(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))上是增函数.
∴g(x)min＝g(1)＝3＋a，
∴3＋a＞0⇔a＞－3.
即所求实数a的取值范围为(－3，＋∞).
法二∵f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)＞0对x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))恒成立
⇔x2＋2x＋a＞0对x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))恒成立
⇔a＞－(x2＋2x)对x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))恒成立
设φ(x)＝－(x2＋2x)，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞)).
问题转化为：a＞φ(x)max.
φ(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞)).
∴φ(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))上是减函数.
∴φ(x)max＝φ(1)＝－3，
∴a＞－3，
即所求实数a的取值范围为(－3，＋∞).
答案(－3，＋∞)
4.若定义在(0，＋∞)的函数f(x)满足f(x)＋f(y)＝f(xy)，且x>1时不等式f(x)<0成立，若不等式f(eq\r(x2＋y2))≤f(eq\r(xy))＋f(a)对于任意x，y∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析设0<x1<x2，则eq\f(x2,x1)>1，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)))<0.这样f(x2)－f(x1)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)·x1))－f(x1)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a