第七章 第39讲.docx

第39讲不等关系与不等式
考试要求不等关系的概念(A级要求).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.()
(2)若eq\f(a,b)>1，则a>b.()
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.()
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.()
(5)a>b>0，c>d>0⇒eq\f(a,d)>eq\f(b,c).()
(6)若ab>0，则a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).()
答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√
2.(教材改编)若a，b都是实数，则“eq\r(a)－eq\r(b)>0”是“a2－b2>0”的________条件.
解析eq\r(a)－eq\r(b)>0⇒eq\r(a)>eq\r(b)
⇒a>b⇒a2>b2，
但由a2－b2>0⇒eq\r(a)－eq\r(b)>0.
答案充分不必要
3.(2019·南京模拟)若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是________(填序号).
①a－b>0；②a3＋b3>0；
③a2－b2<0；④a＋b<0.
解析由a＋|b|<0知a<0，且|a|>|b|，
当b≥0时，a＋b<0成立，
当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0.
答案④
4.如果a∈R，且a2＋a<0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________.
解析由a2＋a<0得a<－a2，
∴a<0且a>－1，∴a<－a2<a2<－a.
答案a<－a2<a2<－a
5.若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，eq\f(1,2)，2ab，a2＋b2从小到大排列为________.
解析∵0<a<b且a＋b＝1，
∴0<a<eq\f(1,2)<b<1，∴2b>1且2a<1，
∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a
＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)<eq\f(1,2).
即a<2ab<eq\f(1,2)，
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，
即a2＋b2>eq\f(1,2)，
a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，
又2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0，
∴a2＋b2<b，
综上，a<2ab<eq\f(1,2)<a2＋b2<b.
答案a<2ab<eq\f(1,2)<a2＋b2<b
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)；
(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b，,\f(a,b)＝1⇔a＝b，,\f(a,b)<1⇔a<b))(a∈R，b>0).
2.不等式的基本性质
性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc
eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc注意c的符号同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).
②a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).
③a>b>0，0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).
④0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).
②eq\f(a,b)>e