第八章 第47讲.docx

第47讲线面垂直与面面垂直
考试要求1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理(B级要求)；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题(B级要求).
诊断自测
1.(教材改编)下列命题中正确的是________(填序号).
①如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β；
②如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；
③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.
解析根据面面垂直的性质，知①不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内，②③④正确.
答案②③④
2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件.
解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.
答案充分不必要
3.(2019·宿迁质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中为真命题的是________(填序号).
解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC，且AM∩DM＝M⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.
答案①④
4.(必修2P37习题6改编)如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为________.
解析由题可知△ABC，△ACO，△BCO，△OAD，△OBD，△OCD是直角三角形.
答案6
5.(必修2P47练习5改编)如图，已知直线AB⊥α，垂足为B，AC是平面α的斜线，CD⊂α，CD⊥AC，则图中互相垂直的平面有________对.
解析平面ABC⊥α，平面ABD⊥α，平面ABC⊥平面ACD.
答案3
知识梳理
1.直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥α,l⊥b))
⇒l⊥α性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角.
(2)范围：[0，eq\f(π,2)].
3.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
(2)平面和平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))
⇒l⊥α考点一直线与平面垂直的判定与性质
【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
(1)求证：CD⊥AE；
(2)求证：PD⊥平面ABE.
证明(1)在四棱锥P－ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，
CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，
PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC.
而A