排位考试3简明答案.pdf

仰望星空，脚踏实地

2019版排位考试3

一.选择题(8题，每题4分，共32分)

()√1+푥−1()()푥
1.设푓푥=∫0ln1+푡푑푡,푔푥=푒−푥−1，则当푥→0时，
푓(푥)是푔(푥)的

(A)等价无穷小(B)同阶非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小

答案：B.

푥4
2.方程√푥+∫0√1+푡푑푡−푐표푠푥=0在区间(0,+∞)内

(A)有且仅有一个实根(B)有且仅有两个实根

(C)有无穷多个实根(D)无实根

答案：A.

푘휋푥2()
3.设퐼푘=∫0푒푠푖푛푥푑푥푘=1,2,3,则有

(A)퐼1<퐼2<퐼3(B)퐼3<퐼2<퐼1

(C)퐼2<퐼3<퐼1(C)퐼2<퐼1<퐼3

答案：D.

푥푓′(푥)
4.设푙푛푓(푥)=푐표푠푥，则∫푑푥=
푓(푥)
(A)푥푐표푠푥−푠푖푛푥+퐶(B)푥푠푖푛푥−푐표푠푥+퐶

(C)푥(푐표푠푥+푠푖푛푥)+퐶(D)푥푠푖푛푥+퐶

答案：A.

5.设푓(푥)在区间(−∞,+∞)内连续，则以下正确的是

푎
푓(푥)푓(푥)푑푥≠0
(A)若为偶函数，则∫−푎

푎푎
푓(푥)푓(푥)푑푥≠2푓(푥)푑푥
(B)若为奇函数，则∫−푎∫0

푎
푓(푥)푓(푥)푑푥≠0
(C)若为非奇非偶函数，则∫−푎

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푥
푓(푥)푇퐹(푥)=푓(푡)푑푡푇
(D)若是以为周期的奇函数，则∫0也是以为周期的函数
答案：D.

휋[()′()2]
6.∫0푓푐표푠푥푐표푠푥−푓푐표푠푥푠푖푛푥푑푥=
(A)0(B)1(C)2(D)4

答案：A.

√2휋2
7.퐼=∫0푠푖푛푥푑푥的值为
(A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)不能确定

答案：A.

0ln⁡(1+푥)
8.积分퐼=∫3푑푥=
−1√1+푥
999
(A)−(B)−3(C)−(D)−
245
答案：C.

二.填空题(6题，每题4分，共24分)

2
1+푥()()
9.设∫2푓푡푑푡=푙푛푥，其中푓(푡)为连续函数，则푓10=______.
1
答案：.
18
2푠푖푛3푥
10.∫푥2(+√4−푥2)푑푥=________.
−21+푥6
答案：2휋.

푥+푦−푡2푥2
11.设可导函数푦=푦(푥)由方程∫0푒푑푡=∫0푥푠푖푛푡푑푡确定，则
푑푦
|=_______.
푑푥푥=0
答案：−1.

12.已知函数푓(푥)在[푎,푏]上连续可微，且푓(푎)=푓(푏)=

푏()푏′()
0,∫푎푓푥푑푥=1，则∫푎푥푓푥푑푥=_______.
答案：−1.

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푥1−2푡
13.푓(푥)=∫푑푡在区间_____内单调增加，曲线푦=푓(푥)在区间
0√1+푡2

_____为凹.

1
答案：(−∞,)内单增，(−∞,2)内凹.
2
+∞1
14.∫푑푥=________.
2푥(푥2+1)
5
答案：ln√.
2
三.解答题(9题，共94分)

15.(本题9分)设푓(푥)在(−∞,+∞)内有定义，且对于任意实数푥,푦满足

푓(푥+푦)=푓(푥)푔(푦)+푓(푦)푔(푥)，

푓(푥)
其中푔(푥)=cos푥2−푠푖푛2푥,lim=1，求푓(0),푓′(0),푓′(푥).
푥→0푥
答案：푓(0)=0,푓′(0)=1,푓′(푥)=푐표푠푥2−푠푖푛2푥.

푥푙푛푥
16.(本题9分)已知푓′(푙푛푥)=，求푓(푥).
(1+푙푛푥)2
푒푥
答案：푓(푥)=+퐶.
1+푥

푥푒푥푡−1
17.(本题10分)求极限푙푖푚∫푥2푑푡.
푥→02푥푡
1
答案：.
2

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18.(本题10分)设푓(푥)为[푎,푏]上的连续函数，푓(푥)>0，且

푥푏1
퐹(푥)=∫푓(푥)푑푥−∫푑푥
푎푥푓(푥)
求证：(1)∀푥∈[푎,푏],퐹′(푥)≥2;

(2)퐹(푥)在(푎,푏)内恰有一个零点.

答案：略(到时见配课)，较为常规。

휋
휋푐표푠푥푠푖푛푥푐표푠푥
19.(本题11分)设∫푑푥=푎，求∫2푑푥.
0(푥+2)20푥+1
4+휋푎
答案：−.
4(2+휋)2

20.(本题11分)设点(3,2)是曲线퐶:푦=푓(푥)(其中푓(푥)有连续的三阶导

数)的拐点，直线푙1,푙2分别是曲线퐶在点(0,0)与(3,2)处的切线，它们的

交点为(2,4)，求

(1)푓′(0)与푓′(3)的值；

3(2)′′′()
(2)定积分∫0푥−2푥−3푓3−푥푑푥.
答案：(1)푓′(0)=2,푓′(3)=−2；

(2)0.

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+∞푎푟