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Picard存在和唯一性定理

本节利用逐次逼近法，来证明微分方程(2.1)的初值问题(2.2)的解的存在与唯一性定理.
定理2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域上满足如下条件：(1)在R上连续;(2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点和有不等式：
则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解其中在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:1.在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有其中满足，从而.如果在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果）
2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，但是Lipschitz条件满足，偏导数不一定存在，如。

3.现对定理中的数h0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况.这时，过点的积图2-5分曲线当或时，其中，，到达R的上边界或下边界.于是，当时，曲线便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间上存在.由于定理假定在R上连续,从而存在于是，如果从点引两条斜率分别等于M和-M的直线，则积分曲线(如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取则过点的积分曲线(如果存在的话)当x在区间上变化时，必位于R之中.

图2-6

存在性的证明求解初值问题（2.2）求解积分方程（2.3）.
因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在上存在而且唯一就行了.下面用毕卡(Picard)逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:1.构造逐次近似序列.
近似序列或写成的每一项都在上有定义，这是因为于是．这样，我们在区间上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)
2.证明近似序列在区间上一致收敛.

“函数序列的一致收敛1．设（1）是定义在I上的函数序列，若对，数列收敛，则称为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域．在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的一个函数，称为极限函数．设此函数为，即2．若对，总存在一个只与有关的自然数N，使得对I上任何一点，当时，有，则称序列（1）在I上一致收敛．

证明分如下二步：（1）序列在上一致收敛级数（2.7）在上一致收敛（级数）．因为级数（2.7）的部分和

“函数项级数的一致收敛1．设函数项级数（1）在区间I上收敛于和函数，即对，数项级数收敛于，或级数（1）的部分和所组成的数列=由数列极限定义，对，，使得时，有2．级数（1）在I上一致收敛对，，使得对，当时，有．3．若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，则（1）的和函数在I上连续．

（2）级数（2.7）在上一致收敛．用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法，

“函数项级数的一致收敛判别法（魏尔斯特拉斯优级数判别法）函数项级数（1）若函数项级数（1）在区间I上满足（I）；（II）正项级数收敛．则函数项级数（1）在区间I上一致收敛．数项级数收敛的判别法（比值判别法，达朗贝尔（）判别法）若正项级数的后项与前项的比值的极限等于：则当时级数收敛，时（或）时级数发散；时级数可能收敛，也可能发散．
级数(2.7)在区间上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为，从而近似序列在区间上一致收敛于.由于在区间上连续，因而也是连续的.3.证明是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解.在n次近似序列（2.6）两端取极限有因为
所以要证明是积分方程（2.3）的解，即成立，只需证明这是由函数的连续性及Picard序列的一致收敛性质保证的。
下面用“ε-N语言”证明上面的极限成立．我们先利用李普希兹条件，作下面的估计：由于序列在区间上一致收敛，因此，对任给ε>0,存在自然数,当时，对区间上所有x恒有从而由此推得换句话说，我们得到现在对恒等式(2.6)两端取极限，就得到此即表明函数是(2.3)的解.至此定理的存在性部分证毕.

唯一性的证明，区别于北大版课本的另一种证明方法：
下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼(Bellman)不等式.贝尔曼引理设y(x)为区间上非负的连续函数，.若存在使得y(x)满足不等式(2.9)则有证明先证明的情形.令，于是从(2,9)式立即有上式两端同乘以因子,则有
上式两端从x0到x积分，则有即由(