洛必达法则75708.docx

第二节洛必达法则

在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限.在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算.这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法.本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则.本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.

分布图示
★洛必达法则
SKIPIF1<0 ★例1-2 ★例3 ★例4
SKIPIF1<0 ★例5 ★例6-7
综合应用 ★例8 ★例9 ★例10
SKIPIF1<0★例11
SKIPIF1<0★例12 ★例13 ★例14
SKIPIF1<0★例15 ★例16 ★例17
SKIPIF1<0★例18 ★例19 ★例20
SKIPIF1<0★例21 ★例22
★内容小结 ★课堂练习
★习题3-2 ★返回

内容要点
一、未定式的基本类型：SKIPIF1<0型与SKIPIF1<0型；
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
二、未定式的其它类型：SKIPIF1<0型，SKIPIF1<0型，SKIPIF1<0型
(1)对于SKIPIF1<0型，可将乘积化为除的形式，即化为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0型的未定式来计算.
(2)对于SKIPIF1<0型，可利用通分化为SKIPIF1<0型的未定式来计算.
(3)对于SKIPIF1<0型，可先化以SKIPIF1<0为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为SKIPIF1<0的形式，再化为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0型的未定式来计算.

例题选讲
SKIPIF1<0型
例1(E01)求SKIPIF1<0
解原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

例2(E02)求SKIPIF1<0
解原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
注:上式中,SKIPIF1<0已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.

例3(E03)求SKIPIF1<0
解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

例4(E04)求SKIPIF1<0.SKIPIF1<0
解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
注:若求SKIPIF1<0为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得
SKIPIF1<0

例5(E05)求SKIPIF1<0
解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0

例6(E06)求SKIPIF1<0.SKIPIF1<0
解原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

例7(E07)求SKIPIF1<0SKIPIF1<0(n为正整数,SKIPIF1<0).
解反复应用洛必达法则SKIPIF1<0次，得
原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
注：对数函数SKIPIF1<0、幂函数SKIPIF1<0、指数函数SKIPIF1<0均为当SKIPIF1<0时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较:对数函数<<幂函数<<指数函数.

例8求SKIPIF1<0
解注意到SKIPIF1<0则有
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0

注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法,但若能与其它求极限的方法结合使用,效果则更好.例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.

例9(E08)求SKIPIF1<0
解当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0故
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

例10(E09)求SKIPIF1<0.
解所求极限属于SKIP