浴缸问题分析1.docx

问题的重述
一个人在一个水容器中洗澡，但是随着温度的降低，会使人感觉到不舒服，由于浴缸不是一个具有二次加热系统和循环射流的水疗浴缸（温泉式的桶），所以浴缸中的人增加了一个连续不断提供热流的水龙头，并且当浴缸快要达到它的额定容积时，多余的水通过溢漏流出。要使人体在浴缸中达到满意的舒适度，需要控制热水龙头的温度、出水的流速以及出水的流速。
（1）建立一个最基本的数学模型，得到温度在人不运动时的分布模型。
（2）如果人运动，必将影响水在浴缸中的蒸发速度，得到更优的温度分布模型。
（3）在问题（1）的情况下，如果考虑热水龙头在浴缸中各向热传导系数不同，得到另一个温度分布模型。
（4）如果浴缸的形状、体积改变以及人的形状、体积、温度改变，最终影响的也是热传导系数，所以不建立模型，只作说明。
2．模型的假设与符号说明
2.1模型的假设与说明
（1）浴缸中的初始水温已经达到恒温，在各位置的温度都是相同的。
（2）浴缸中的水的温度在空间和时间上分布是连续的。
（3）忽略浴缸中的水与器壁的热量交换
（4）假设人在水中的运动是有规律的，并且头部始终保持在水面上方。
说明：（1）对于假设（2），由于热水进入时热量不能骤变，并且单位时间内传递的热量很多，故视其为连续函数是合理的，从而可以把优化问题归结为热传导、热扩散问题。
（2）对于假设（3），为了避免在浴缸中洗澡丧失更多的热量，浴缸的器壁可以看成一个恒温物体，与浴缸中的水温相同，不进行热量交换，或者交换的热量忽略不计。
符号的使用和说明
符号的说明：
表示水的比热容
表示水的密度
表示热水龙的的截面面积

表示从水龙头进入浴缸的水的初始温度
表示浴缸内水温关于空间和时间的函数
表示浴缸内（x,y,z）处水的热流密度的影响系数
表示溢漏水管的截面面积
表示溢出水的温度

3.模型前的准备
3.1建模前的公式运用准则
解决这一问题的关键之一是认识到水分子的扩散运动，以及热传导的两个方程、一个定理，以及运用能量守恒定律。由此可以得到下列的准则和定理。
准则1：孤立系统的能量永远守恒。
定理1：净吸收的热量=散发出的热量
显然，净吸热为热源出提供的热量减去流出的热量，散发出的热量为水蒸发和传递给人的热量，能量总体平衡。
准则2：在整个以浴缸、人、热源、空气为整个系统中，满足热传导方程。
定理2：傅里叶定律：热流向量与温度梯度成正比，方向相反。，其中称为材料的导热系数。
说明：傅里叶定律适用于稳态和非稳态的、无热源和有热源的温度场，也适用于常物性和物性随温度改变的情况。
3.2浴缸初始温度的选取及数据处理
根据大量资料显示，不同的人群适应浴缸水温不同，舒适度也不同，如图所示：

4.问题的分析
对于任何一个问题，需要解决的问题就是建立一个在空间和时间上的分布模型，并且各处的温度接近初始温度。并且针对每一个问题我都可以用热传导方程和能量守恒定律进行求解。
4.1对没有人运动的模型分析
定义4.1.1定义浴缸中的人为一个方形物体，长为，宽为高为，此时传递给人的能量主要通过上下、左右、前后表面的截面面积，定义人是各向同性的物体，满足傅里叶定律的热传导方程，由此
可以得到以下结论：
结论1人接受的能量是均匀的，
结论2人在浴缸中能量主要通过呼吸、各器官消耗。
结论3人体的皮肤表面温度肯定升高
4.2对人运动过后的模型分析
在人运动过后的阶段，随着水表面波动较大以及人的位置发生变化，促使浴缸中的水的热传导系数改变，引起浴缸中的人采取措施的原因主要有两方面：
人体在浴缸中的舒适度明显降低，
热量散发的太快。水的温度骤降加快
以后两个方面又都受人体运动的影响，关系如图所示：
水与空气热量交换加快
提高入水速度

改变
温度接近初始温度
人运动

降低出水速度

传递给人的热量降低

提高入水温度

在实际中，影响了多个方向的导热系数，温度分布影响肯定受到很大影响，因此，需处理出水温度、出水流速、入水流速，更大程度地弥补热量的流失。所以，在做定量分析计算时，可以先用定性分析方法确定各因素间的函数关系，在求解过程中利用参数辨识方法确定其中的参数。

4.3传导过程中热导系数不同模型的分析
对于各向同异性物体，对人而言，在严格意义上讲是不均匀的，水中的成分不同，这些对热导系数也有影响。可以利用傅里叶的推广对各向同异性物体进行求解分析。
题目要求即使人运动过后也尽可能地接近初始温度，而且并不改变人体的舒适度，因此，需要处理这个物体运动的模型，根据查阅大量资料文献，人体的运动可以看做一个质点，模拟质点的运动
情形一当人体上下摆动时，导致浴缸中的水对人和空气的导热系数改变，增大了与空气的交换次数。温度下降更快。
情形二当人体左右摆动时，导致浴缸中的水对人和空气的导热系数改变，增大了与空气的交换次数。温度下降更快。
情形三当