第2章-2.3-第一课时-一元二次不等式的解法.docx

2.3二次函数与一元二次方程、不等式
第一课时一元二次不等式的解法

课标要求素养要求1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
教材知识探究

1.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
2.①已知三个方程：x2－4x＋3＝0；x2－4x＋4＝0；x2－4x＋5＝0.②已知三个函数y1＝x2－4x＋3，y2＝x2－4x＋4，y3＝x2－4x＋5及三个函数对应的图象.

问题1.观察实例1中的不等式，指出其含未知数个数及未知数的次数？
2.观察实例2，①中三个方程的解分别为x1＝1，x2＝3；x1＝x2＝2；无解，②中三个函数与x轴交点横坐标分别为1，3；2；无交点.由图象观察可知在②中三个函数中，x分别取何值函数值为正、负？
提示设每本杂志价格提高x元，则发行量减少2.5x万册，杂志社的销售收入为(2＋x)(10－2.5x)万元.根据题意，得(2＋x)(10－2.5x)>22.4，即5x2－10x＋4.8<0，解此不等式，最终得每本杂志的价格范围.
1.只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2.
2.对于y1＝x2－4x＋3，当x<1或x>3时，y1＝x2－4x＋3>0，当1<x<3时，y1＝x2－4x＋3<0；对于y2＝x2－4x＋4，当x≠2时，y2＝x2－4x＋4>0；对于y3＝x2－4x＋5，当x∈R时，y3＝x2－4x＋5>0.

1.一元二次不等式的概念当二次项系数不确定时要注意对二次项系数进行讨论

一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0解集ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c<0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≥0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≤0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
“三个二次”之间的关系非常重要，它是研究函数、方程及不等式的关系的重要依据
Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2},教材拓展补遗
[微判断]
1.不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(×)
提示当a≠0时，ax2＋x－1<0是一元二次不等式.
2.不等式x2－5y<0是一元二次不等式.(×)
提示x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式.
3.不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(√)
[微训练]
1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有()
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析②④一定是一元二次不等式.
答案B
2.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________.
答案{x|x>3或x<－2}
3.不等式x2<2的解集是________.
答案{x|－eq\r(2)<x<eq\r(2)}
[微思考]
1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？
提示可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式.
2.一元二次不等式有哪些形式？
提示任意一个一元二次不等式都可以利用不等式的性质变成二次项系数大于0的形式，并且可以化为下列形式中的一种：
(1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；
(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(3)ax2＋bx＋c≥0(a>0)；
(4)ax2＋bx＋c≤0(a>0).
3.一元二次不等式与一元二次函数有什么