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第二章空间的平面和直线
本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，熟练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角.
本章教学重点：（1）空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式；
（2）平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；
（3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式.
本章教学难点：（1）空间直线一般方程向标准方程的转化；
（2）综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程.
本章教学内容：
§2.1仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置
2.1.1平面的参数方程和普通方程
确定一个平面的条件有：不在同一直线上的三个点；一条直线和直线外的一点；两条相交或平行直线.为了利用向量法，我们将利用“一点和两个不共线的向量来确定一个平面”.
约定：SKIPIF1<0—表示平面；
定义：与平面SKIPIF1<0平行的一对非共线向量SKIPIF1<0，称为SKIPIF1<0的方位向量.与SKIPIF1<0垂直的非零向量SKIPIF1<0，称为SKIPIF1<0的法线向量，简称法向量.
一.平面的参数方程
1.已知SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0及其方位向量SKIPIF1<0时：
建立坐标系SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,对动点SKIPIF1<0,设
SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0共面SKIPIF1<0SKIPIF1<0共面SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,————SKIPIF1<0的向量式参数方程（1）
若令SKIPIF1<0，则
SKIPIF1<0————π的坐标式参数方程（2）
二平面的普通方程
为得到SKIPIF1<0的普通方程，我们有SKIPIF1<0共面SKIPIF1<0
SKIPIF1<0=0,——————π的一般（普通）方程（3）
即
SKIPIF1<0，(4)
其中
SKIPIF1<0
（1）——（3）统称为SKIPIF1<0的点位式方程.
三平面的其他方程
1.已知平面π上三非共线点SKIPIF1<0,建立坐标系SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0.对动点SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,由（1），（2），（3）有
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0（5）
SKIPIF1<0=0.（6）
（4）——（6）统称为平面的三点式方程.
特别地，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与三坐标轴的交点，即SKIPIF1<0,则
SKIPIF1<0=0,（7）
即SKIPIF1<0——————π的截距式方程.其中SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0在三坐标轴上的截距.
2.已知平面SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0及其法向量SKIPIF1<0：
建立直角坐标系SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,

(图3.1)
对动点SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则
SKIPIF1<0,（8）
————π的点法式方程或法线式方程.
特别地，若SKIPIF1<0是自SKIPIF1<0向SKIPIF1<0所作垂线的垂足，而
SKIPIF1<0,且记SKIPIF1<0，
，（9）
其中SKIPIF1<0，该方程称为SKIPIF1<0的法式方程，它有如下特征：
1°一次项系数的平方和等于1；
2°常数项SKIPIF1<0。
四一般方程向法式方程的转化：
在直角坐标系下，若已知SKIPIF1<0的一般方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的法向量，而法式方程（9）中的一次项系数是SKIPIF1<0的一特殊单位法向量的分量。将一般方程化为法式方程只需在一般方程两边同乘以因子
SKIPIF1<0
有
SKIPIF1<0，
再据SKIPIF1<0选取SKIPIF1<0的符号即可。
下面，我们介绍平面方程中系数SKIPIF1<0的几何意义。
定理设平面SKIPIF1<0的方程是(4),则向量SKIPIF1<0平行于平面SKIPIF1<0的充分必要条件是
SKIPIF1<0。
证明:SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0的充分必要条件是