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题目：Haar小波在图像多尺度分解
与重构中的应用
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Haar小波在图像多尺度分解
与重构中的应用
摘要:鉴于小波多尺度分解与重构在图像的编码、压缩、去燥、融合等方面的重要作用，介绍了Haar小波的尺度函数与小波函数，给出了Haar小波多尺度分解与重构的算法，并进行成功验证。结果表明，多尺度分解将图像分解成一个简单的多层次框架，框架的每个分量具有独特的频率特性和空间取向特性，同时重构算法能很好地恢复图像。
关键词:Haar小波；多尺度分解；图像重构
ImageMultiresolutionDecompositionand
ReconstructionBasedonHaarWavelet
（CollegeofInformationEngineering,ZhouBoyan）
Abstract:Giventheimportantroleofthewaveletmultiresolutiondecompositionandreconstructioninimagecoding,compression,de-noising,integrationandsoon.IntroducedtheHaarwaveletscalingfunctionandwaveletfunction,gavetheHaarwaveletmultiresolutiondecompositionandreconstructionalgorithms,andachievedthesuccessofauthentication.Multi-scaledecompositioncandecomposeanimageintoasimplemulti-levelframework,whoseeachcomponenthasuniquefrequencycharacteristicsandspaceorientationfeatures,meanwhile,reconstructionalgorithmcanrestoreanimageeffectively.
Keywords:haarwavelet;multiresolutiondecomposition;imagereconstruction.
0引言
1986年以来，小波分析已成了有力的数学工具，它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变换被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。它在信号与图像分析、图像编码、图像压缩、边缘检测等科学和工程技术中得到了广泛应用。
1离散小波变换
设是一个可测的、平方可积的一维函数空间，R为实数集。小波是由满足的函数通过平移、伸缩而产生的函数族；

称为分析小波或连续小波。其中，a为缩放因子，b为平移因子[1]。函数在上的连续小波变换为：

离散小波是通过把小波函数中的参数a，b离散化得到的:

则小波变为：

当时，就可得到二进小波：

2基于Haar小波的函数空间
Haar小波是法国数学家A.Haar给出的，是历史上第一个标准正交小波基其函数族：

构成函数空间的标准正交基[2-3]。尺度函数和小波函数生成一组可用于分解和重构信号的函数族，Haar尺度函数：

Haar基本小波：

设空间由函数族构成。基于Haar尺度函数基本特性函数在函数空间的表示为：，其中为函数在函数空间的表示，k表示函数空间的位移且。
设空间由函数族构成，基于上述性质的推广，函数在函数空间的表示为，其中为函数在在函数空间的表示，j表示函数空间的伸缩。类似地，函数空间由函数构成。函数空间的每个函数和函数空间的每个函数正交，且中每个正交的函数属于，即函数空间的函数族和函数空间的函数族共同构造了函数空间的完全标准正交系

3Haar小波多级分解与重构算法
对能量有限且属于的连续信号进行采样，产生一个近似信号。因为是函数空间的一个标准正交基，从而可以得到在函数空间的表示：将分解成奇部和偶部，即：，通过进一步计算,得其中、，且，由得：，将分解成不同频率的分量。在分辨率下，为信号的高频成分，表示信号的细节纹理；是信号的低频部分，也是信号的平滑逼近，代表信号的主体信息。小波重构算法是分解的逆过程，首先计算，再由数学归纳法计算出。
4图像多尺度分解与重构的实现
在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。首先，沿方向分别用和做分析，把,分解成平滑逼近和细节两部分，然后对这两部分再沿方向分别用和做类似分析。对一幅二维离散图像进行二维小波变换，可