四中真题尖子班解法.docx

第3讲四中真题＋西城综合模拟（尖子班）

第一部分北京四中历年真题展示

一、填空
1、用140个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下92个小正方体(见右图)。留下的多面体的表面积是。
〔分析〕①本题是整体化思考的经典范例。一是从整体考虑拆之前和拆之后表面积的变化关系，二是本题可以用三视图法。
②由于大长方体的长、宽、高都大于2，否则拆后剩下的图形与题意不符。用140个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，体积就是140，把140分解成3个大于2的自然数的乘积，只有一种情况140＝7×5×4，所以大长方体的长、宽、高分别是7，5，4；表面积是(4×5＋4×7＋5×7)×2＝166。
③拆下沿棱的小正方体后，对比原来的表面积，相当于每个面减少4个1×1＝1的小正方形，所以留下的多面体的表面积是:166-4×6＝142。

2、七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么
写A的圆内应填入。
〔解法1〕①从整体出发，既然知道两两相邻圆圈中的数之和，就很容易得到这7个圆圈中的数相加的和为（10＋6＋9＋12＋8＋11＋14）÷2＝35。
②而除了A以外，其他六个圆圈中数的和等于6＋12＋11＝29，所以A＝35-29=6。
〔解法2〕①第一步与上面的解法相同，先算出7个圆圈中的数相加的和为（10＋6＋9＋12＋8＋11＋14）÷2＝35。
②注意到9+8+I0+14=41，这个和41实际上等于A被计算两遍后与其它六个数的和，所以A的值为41-35=6。

3、从时钟指向4点整开始，再经过分钟，时针、分针正好第一次成直角。
〔解法〕4点整时，时针、分针相差20个小格；时针、分针成直角时，两者恰好相差15个小格，所以第一次成直角时分针需要追上时针20－15＝5个小格。分针的速度为“l小格/分钟”，而时针的速度为“个小格/分钟”，所以再经过（20－15）÷（1－）＝5分钟，时针、分针正好第一次成直角。

4、一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了20小时，去时所用时间是回来的l.5倍，去时每小时比回来时慢12公里。这辆汽车往返共行驶了公里。
〔解法〕①“去时所用时间是回来的l.5倍”，把回来的时间看作1份，则去时所用的时间是1.5份，所以回来的时间为20÷（1.5＋1)＝8小时，去时所用时间为8×1.5=12小时。
②“去时所用时间是回来的l.5倍”，往返路程不变，路程相同，速度和时间成反比例。
V去︰V回＝1︰1.5＝2︰3
V去＝12÷（3－2）×2＝24千米/时
③往返路程为24×12×2=576(千米)。
答：这辆汽车往返共行驶了576公里。

5、某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是。
〔解法〕①“某个自然数被187除余52，被188除也余52”，这个自然数应该是187和188的公倍数再加上52，可以设这个数为187×188×n＋52。
②187×188×n＋52＝17×11×94×2×n＋52
＝17×94×（11×2）×n＋52
＝17×94×n×22＋52
显然，17×94×n×22是22的倍数，因此这个数被22除的余数与52被22除的余数相同，52＝22×2＋8，所以这个自然数被22除的余数是8。

二、解答题。
6、已知r满足〔r＋〕＋〔r＋〕＋〔r＋〕＋……＋〔r＋〕＝546，求〔100r〕。
〔解法〕①等是左边有91－18＝73项。因为、、、……、都小于1，所以每一项的得数都与〔r〕或〔r＋1〕相同。〔〕是取整数的意思。
②因为546÷73＝7，7×73＜546＜8×73（7×73＝511；8×73＝584）。所以这73项，前面的若干项是7，后面的若干项是8。根据“鸡兔同笼”的解法，（8×73－546）÷（8－7）＝38，前38项的整数部分是7，后35项的整数部分是8。即
r＋＜8且r＋≥8
解上面的2个不等式，得
r＋0.56＜8且r＋0.57≥8合并在一起考虑
7.43≤r＜7.44
743≤100r＜744
所以，〔100r〕＝743

7、下面有三组数：
⑴2，1.5，12⑵0.7，1.55⑶，9，1.6，8
从每组数中取出一个数，把取出的三个数相乘，那么所有不同取法的三个数乘积的和是多少?
〔解法〕①先从简单情况想起，寻找规律。假如有两组数，（a、b）、（c、d、e）。从每组数中取出一个数，把取出的2个数相乘，那么所有不同取法的2个数乘积的和是多少呢？
（a＋b）×（c＋d＋e）＝ac＋ad＋ae＋bc＋bd＋be
将等式左边用乘法分配律展开得到的多项式就是所有不同取法的2个数乘积的和。
②（2＋1.5＋12）×（0.7＋1.55）×（＋9＋1.6＋8）
＝16×2.25×20
＝720
说明：将（2