创新设计 高考总复习高考数学 全国专用一轮复习第八篇 空间几何体的表面积与体积.docx

第2讲空间几何体的表面积与体积

A级基础演练
(时间：30分钟满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为()．

A．2＋eq\r(3) B．1＋eq\r(3)
C．2＋2eq\r(3) D．4＋eq\r(3)
解析依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝4＋eq\r(3).
答案D
2．(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ()．
A.eq\f(9,2)π＋12
B.eq\f(9,2)π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π＋18.
答案B
3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为()．

A．48 B．64 C．80 D．120
解析据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5.∴此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4×eq\f(1,2)×8×5＝80(cm2)．
答案C
4．(2012·新课标全国)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为
()．
A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6) C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)
解析在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)；同理SB＝eq\r(3).过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(\r(3),2)，则△ABD的面积为eq\f(1,2)×1×eq\r(AD2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)
＝eq\f(\r(2),4)，则三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),6).
答案A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，则球O的表面积等于________．
解析将三棱锥S－ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为4πR2＝4π.
答案4π
6．(2012·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.

解析由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6,3,1的长方体，下面是两个半径均为eq\f(3,2)的球，其体积为6×3×1＋2×eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝18＋9π(m3)．
答案18＋9π
三、解答题(共25分)
7．(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，
体积V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．
8．(13分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一动点，如图所示，求CP＋PA1的最小值．
解PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．计算A1B＝