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平面向量的数量积及平面向量的应用

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：
理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
重点难点：
重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角．
难点：用向量的方法解决几何、物理等问题．
学习策略：
学习本专题内容，需要复习平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算；学习中注意向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别与联系；平面向量的应用是向量的核心内容，向量的平行和垂直是向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何、解析几何、物理等方面有着重要的应用．特别对不同的解题方法进行比较，从中体会向量方法的优越性所在．

二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）平面向量基本定理
如果SKIPIF1<0是同一平面内两个的向量，那么对于这个平面内任一向量SKIPIF1<0，一对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，称为SKIPIF1<0的线性组合．
（1）其中SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的；
（2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量SKIPIF1<0的方向分解为两个向量的，并且这种分解是的．
这说明如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，那么．
（3）当基底SKIPIF1<0是两个互相的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
（二）向量坐标与点坐标的关系
当向量起点在原点时，定义向量坐标为坐标，即若A(x，y)，则SKIPIF1<0=(，)．
（三）平面向量的坐标运算
运算坐标语言加法与减法记SKIPIF1<0=(x1，y1)，SKIPIF1<0=(x2，y2)
SKIPIF1<0=(，)，
SKIPIF1<0=(，)实数与向量的乘积记SKIPIF1<0=(x，y)，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(，)（四）平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0(x1，y1)=SKIPIF1<0(x2，y2)，即SKIPIF1<0，或=0．
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#255204

知识点一：平面向量的数量积
（一）平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量积，记作，即有=．并规定SKIPIF1<0与任何向量的数量积为．
（二）一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在SKIPIF1<0方向上的投影．
要点诠释：
（1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
①两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定．
②两个向量的数量积称为积，写成SKIPIF1<0；今后要学到两个向量的外积SKIPIF1<0，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
③在实数中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；但是在数量积中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，不能推出SKIPIF1<0．因为其中SKIPIF1<0有可能为0．
（2）投影也是一个数量，不是向量；当SKIPIF1<0为锐角时投影为值；当SKIPIF1<0为钝角时投影为值；当SKIPIF1<0为直角时投影为；当SKIPIF1<0=0时投影为；当SKIPIF1<0=180时投影为．
知识点二：向量数量积的性质
设SKIPIF1<0与为两个非零向量，SKIPIF1<0是与SKIPIF1<0同向的单位向量．
（1）SKIPIF1<0==
（2）SKIPIF1<0
（3