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耦合离散mKdV方程的达布变换及其精确解
阮传同，魏含玉
（周口师范学院数学系，河南周口466000）
摘要：借助谱问题的规范变换，给出与一个离散的矩阵谱问题相联系的耦合离散mKdV方程的达布变换．作为应用，从所导出的达布变换得到了这个方程的精确解并作出图形．
关键词：离散谱问题；耦合离散mKdV方程；达布变换；精确解

孤子方程是非线性科学中的一个重大研究课题，自20世纪60年代以来,人们发现了多种求孤子方程解的方法，其中有反散射方法、贝克隆变换法、双线性直接方法、代数几何法、非线性化方法、达布变换法等等[1]．这些方法各有特点，彼此之间也有其内在的联系．其中，达布变换是一种自然而美妙的方法[2]，它能从方程的一个解出发得到新的更复杂的精确解，是一种简单而有效的求解方法．
考虑离散谱问题
，（1）
其中、是两个位势函数，是常谱参数．特征函数相应的时间部分为
，（2）
根据离散的零曲率方程,由(1)和(2)可得到耦合离散mKdV方程[3]
（3）
1、达布变换
为了构造耦合离散mKdV方程(3)的达布变换，首先引入半离散谱问题(1)和(2)的规范变换[4]．
（4）
其中由下式确定
（5）
（6）
于是便满足与谱问题(1)和(2)形式上完全相同的Lax对，即
（7）
（8）
为了使相应的谱问题转化为相同形式的谱问题，假定为如下形式
（9）
其中，，，是关于n和t的待定函数，且
将（1）和（9）代入（5），比较的系数可得
(10)
设谱问题(1)和(2)有基本解组为，．
记为

则为（1）的一个基解矩阵
由（4）得

矩阵（9）表明是关于的阶多项式且．
故当时，，知是一个退化矩阵，从而的列向量线性相关，即存在常数使得
（11）

将（9）代入（11）得
（12）
其中
（13）
适当选取，，，使（12）中分别以，，，为未知的个方程组的系数行列式的值均不为零．根据克莱姆法则，这些函数可唯一确定．
定理1由（5）所确定的和（1）中矩阵具有相同的形式，即

变换（10）将原位势函数，映射为新位势函数，
证明：因，其中是矩阵的伴随矩阵．假设
（14）

由和的表达式可知，，，是的阶多项式且是的根．进而（14）可改写为
(15)
其中

由（15）知
（16）

比较（16）式两端，的系数可得
，，，
，
根据（10）式，有
，
则，知定理成立．
定理2由（6）所确定的和（2）中矩阵具有相同的形式，即

变换（10）将原位势函数，映射为新位势函数，
证明：令
（17）

由和的表达式可知，，，是的阶多项式且是的根．进而（17）可改写为
(18)
其中

由（18）知
（19）
比较（19）式两端，，，的系数可得
，，
，，
，
比较（5）式的系数，有
（20）
根据（10）和（20）式，有

，，
，
则，知定理成立．
定理3（4）和（10）就是耦合离散mKdV方程(3)的一个达布变换，方程的一个解在其作用下可映射为方程的一个新解，其中，，，由线性方程组（12）唯一确定．
2、方程的精确解
通过前面构造的达布变换，我们来讨论耦合离散mKdV方程(3)的精确解．
取（3）的一个平凡解作为种子解，将其代入其谱问题（1）和（2）中，可以得出它的一个基本解组
，（21）
其中
，
当时，由（13）可得
（22）
将(21)、(22)代入线性系统（12），根据克莱姆法则，可得
，
，
其中

从而，利用达布变换（10）得到方程（3）的精确解：

特别地，当时，我们可以得到

此时

从而，适当选择参数可得到方程（3）精确解的单孤子图形：

图1．，，，

图2．，，，

周口师范学院青年科研基金资助项目编号：zknuqn200911
作者简介：阮传同（1979—），男，河南淮阳人，助教，硕士研究生，主要从事概率统计教学与研究
DarbouxtransformationofadiscretecoupledmKdVequationandItsexplicitsolutions
RUANChuan-tong,WEIHan-yu
(DepartmentofMathematics,ZhoukouTeachersCollege,ZhoukouHenan466000)
Abstract:Withthehelpofagaugetransformationofthespectralproblem,wegivetheDarbouxtransformationofadiscretecoupledmKdVequation,whichrelatedtothediscretematrixspectralproblem．Asanapplication,weobtaintheexplicitsolutionsofthediscretecoupledmKd