7.1 直线方程 Microsoft Word 文档.doc

第七章直线和圆的方程
知识结构网络

7.1直线方程
一、明确复习目标
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，
2.掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；
3.能根据条件熟练地求出直线方程.
二．建构知识网络
1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°
可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
2.直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（－∞，+∞）
3.直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量
向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝(0,1)
4.直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜成度的。
每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系。
5.直线方程的五种形式
点斜式：，(斜率存在)
斜截式：(斜率存在)
两点式：，(不垂直坐标轴)
截距式：(不垂直坐标轴,不过原点)
一般式：
6．过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：
A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ∈R）(除l2外)。
三、双基题目练练手
1.直线xtan+y=0的倾斜角是
A.－B.C.D.
2直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是
A［，）∪（，］B［0，］∪［，π）
C［0，］D［，］
3.下列四个命题：①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示；②经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2－x1）（x－x1）=（y2－y1）（y－y1）表示；③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示其中真命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
4.（2006北京11）若三点共线，则的值等于______.
5．过点A(2,1),且在x,y轴上截距相等的直线方程是
6．（2005北京东城检测）已知直线l1：x－2y+3=0，那么直线l1的方向向量a1为____________（注：只需写出一个正确答案即可）；l2过点（1，1），l2的方向向量a2,且a1·a2=0，则l2的方程为____________.

简答:1-3.DBB；
3.解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线，只有②正确。
4.；5.(x+y=3或y=x/2)强调：截距式的使用范围
6.解析：由方向向量定义即得a1为（2，1）或（1，）.
a1·a2=0，即a1⊥a2.
也就是l1⊥l2，即k1·k2=－1.
再由点斜式可得l2的方程为2x+y－3=0.
答案：（2，1）或（1，）2x+y－3=0
四、经典例题做一做
【例1】已知△ABC的三个顶点是A（4，－1）、B（0，3）、C（7，3），
(1)求AB边的中线所在直线的方程;
(2)求∠C的一平分线的方程.
解(1)由中点公式得AB中点D(2,1),中线CD所在直线的方程为
.
(2)由两点间距离公式得|AC|=5,|BC|=7.
设∠C的平分线与边AB的交点为E,由三角形内角平分线的性质知E分有向线段AB所成的比λ=,由定比分点公式得,
由两点式方程得,直线CE的方程为:x-2y-1=0.
∴∠C的平分线的方程为:x-2y-1=0().
【例2】已知两点A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直线AB的斜率k与倾斜角α；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈［－－1，－1］，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解：（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角α＝．
当m≠－1时，k＝，
当m＞－1时，α＝arctan，
当m＜－1时，α＝π＋arctan．
（2）当m=－1时，AB：x=－1，
当m≠1时，AB：y－2=（x+1）．
（3）①当m=－1时，α＝；
②当m≠－1时，
∵k＝∈（－∞，－］∪［，＋∞），
∴α∈［，）∪（，］
故综合①、②得，直线AB的倾斜角α∈［，］
【例3】已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交