高考数学二轮复习 专题八 选考4系列选讲 专题跟踪训练33 不等式选讲 理-人教版高三全册数学试题.doc

专题跟踪训练(三十三)不等式选讲
1．(2018·广州二模)设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.
(1)解不等式f(x)>4；
(2)若∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))，不等式a＋1<f(x)恒成立，求实数a的取值范围．
[解](1)∵f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|，
∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x－2，x<－\f(3,2)，,x＋4，－\f(3,2)≤x≤1，,3x＋2，x>1，))
f(x)>4⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(3,2)，,－3x－2>4))
或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)≤x≤1，,x＋4>4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,3x＋2>4))
⇔x<－2或0<x≤1或x>1.
∴不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知，当x<－eq\f(3,2)时，f(x)＝－3x－2，
∵当x<－eq\f(3,2)时，f(x)＝－3x－2>eq\f(5,2)，
∴a＋1≤eq\f(5,2)，即a≤eq\f(3,2).
∴实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).
2．(2018·河南新乡二模)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.
(1)求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．
[解](1)由f(x)≤2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1，,2－2x≤2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<4，,0≤2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥4，,2x－8≤2，))解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为[0,5]．
(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－2x，x≤1，,0，1<x<4，,2x－8，x≥4，))
作出函数f(x)的图象，如图所示，

易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，
当此直线经过点B(4,0)时，k＝eq\f(1,2)；
当此直线与直线AD平行时，k＝－2.
故由图可知，k∈(－∞，－2)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).
3．(2018·大庆二模)已知f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，g(x)＝－x2＋2mx.
(1)求不等式f(x)>4的解集；
(2)若对任意的x1，x2，f(x1)≥g(x2)恒成立，求m的取值范围．
[解](1)解法一：不等式f(x)>4即|x＋3|＋|x－1|>4.
可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋3＋x－1>4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<x<1，,x＋3＋1－x>4))
或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－3，,－3－x＋1－x>4，))
解得x<－3或x>1，所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
解法二：|x＋3|＋|x－1|≥|x＋3－(x－1)|＝4，
当且仅当(x＋3)(x－1)≤0，即－3≤x≤1时，等号成立．
所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
(2)依题意可知f(x)min≥g(x)max，
由(1)知f(x)min＝4，
因为g(x)＝－x2＋2mx＝－(x－m)2＋m2，
所以g(x)max＝m2.
由m2≤4得m的取值范围是－2≤m≤2.
4．(2018·西安一模)设a、b为正实数，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2eq\r(2).
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
[解](1)由2eq\r(2)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))得ab≥eq\f(1,2)，
当a＝b＝eq\f(\r(2),2)时取等号．
故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝eq\f(\r(2),2)时取等号．
所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2eq\r(2)可得a＋b＝2eq\r(2)ab，
∵(a－b)2＝(a＋b)2－