线性代数试卷及答案.docx

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
数学科学学院《线性代数》课程试题(A卷)
优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号
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考试说明：本课程为闭卷考试，考试时间100分钟。满分为：100分

题号一二三四五六总分得分
填空题（每题3分，共15分）
1．设的基为，则在基下的坐标为。
2．已知方阵，且满足方程，则的逆矩阵。
3．设为3阶实对称矩阵,向量,分别对应于特征值和的特征向量,则。
4．若矩阵的秩，则。
5．设为3阶矩阵，且，则。
单项选择题（每题3分，共15分）
1．向量组线性相关的充要条件是()。
(A)中至少有两个向量成正比；
(B)中至少有一个零向量；
(C)中至少有一个向量可由其余的向量线性表示；
(D)中任一部分组线性相关。
2．已知阶行列式，则下列表述正确的是（）。
（A）行列式主对角线上的元素全为零；
（B）的行向量组线性相关；
（C）方程仅有零解；
（D）的秩为。
3．设为同阶方阵，下列结论成立的有（)。
(A）；（B）；
（C）若，则；（D）。
4．已知元非齐次线性方程，为方程对应的齐次线性方程组，则有（）。
（A）若只有零解，则有惟一解；
（B）有惟一解的充要条件是；
（C）有两个不同的解，则有无穷多解；
（D）有两个不同的解，则的基础解系中含有两个以上向量。
5．行列式的充要条件是（）。
（A）；（B）；（C）或；（D）且。
三．计算下列各题（32分）
1.求阶行列式的值。
2．设矩阵满足方程，求矩阵。
3．设,,求，及。
4．求矩阵的特征值与特征向量。
四．求向量组，的一个极大无关组,并将其余向量用这个极大无关组线性表示。（10分）
五．设二次型，利用正交变换法将二次型化为标准型，并写出正交矩阵。（10分）
六．设线性方程组试确定的值，使方程组有解，并求出其全部的解。（10分）
七．（8分）设向量组中，前个向量线性相关，后个向量线性无关，试证明：
（1）可表示为的线性组合；
（2）不能表示为的线性组合。
授课教师命题教师或命题负责人签字《线性代数》命题组
年月日院系负责人签字
年月日

2007-2008学年第2学期《线性代数》A卷答案

填空题（每题3分，共15分）
1．；2．；3．；4．；5．。
选择题（每题3分，共15分）
1．C;2．B;3．D;4．C;5．D。
三．计算下列各题（解法不唯一，答案仅供参考，下同。）
1.。2．。
3．,,。
4．，得。所对应的特征向量,所对应的特征向量。
四．解：作矩阵，对其进行初等行变换化为阶梯形矩阵，

极大无关组为，且，。
五．解：二次型对应的矩阵为，特征多项式为，
从而，.所对应的特征向量有及。所对应的特征向量。正交单位化后得
，
因此，。二次型的标准型为。
六．解：，因此，当时，方程组有解。
一般解为：。
七．证明：（1）由题设知线性无关，又线性相关，所以可表示为的线性组合。
（2）反证法。若能表示为的线性组合，由（1），能表示为的线性组合，所以线性相关，矛盾。
授课教师命题教师或命题负责人签字线性代数命题组
年月日院系负责人签字
年月日