基于小波变换的APF.docx

基于小波变换的APF（用于三相不对称电路）
基于瞬时无功功率理论的电流检测方法被广泛应用于电力有源滤波器。仅适合对称的三相三线电路，不适合三相不对称，三相四线和单相电路。
小波理论分析
1.连续小波变换
小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。图是一个Daubechies小波(db10)与正弦波的比较。

傅里叶变换与小波变换基元
正弦波是振幅不变、随时间无限振动的光滑波形，它是傅里叶变换的基础。由图看出，小波是尖锐变化而且是无规则的波形，这是小波变化的基础。因此用小波能更好地刻画信号的局部特性。
在数学上，傅里叶变换的公式为SKIPIF1<0
积分是从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0。图给出了傅里叶变换的示意图。由图看出，原始信号是由不同的频率成分构成的。

信号不同频率分量的组成
信号傅里叶变换过程
连续小波变换（ContinueWaveletTransform）的数学表示式为
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
式中，SKIPIF1<0为小波；a为尺度因子；b为平移参数。图是小波变换的示意图。由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成的。

信号不同尺度和不同位置小波的组成
信号小波变换示意图
小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下的“拉伸”或者“压缩”。图给出了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。小波中的位移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
不同尺度下小波形状
2.离散小波变换
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。
离散的目的是减少连续小波变换的信息冗余，同时又要保证反映出信号的特征信息。
通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则相应的离散小波函数为:SKIPIF1<0
相应的离散小波变换为:SKIPIF1<0
其重构公式为SKIPIF1<0
C是一个与信号无关的常数。
3.二进制小波变换
上面是对尺度参数a和平移参数b进行离散化的要求。为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，需要改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，每个网格点对应的尺度为SKIPIF1<0，而平移为SKIPIF1<0。由此得到的小波SKIPIF1<0SKIPIF1<0
二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数SKIPIF1<0，它对应为观测到信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数即减小SKIPIF1<0值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即加大SKIPIF1<0值。在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。
二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量仍保持连续变化，因此，二进小波变换不破坏信号咋时间域上的平移不变量，这是它较之离散小波变换所具有的连续的独特优点。

时间域频率域

短时傅里叶变换小波变换
（1）小波变换示意图
4.MALLAT算法滤波的基本原理
Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。
关于多分辨率分析的理解，以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图

三层多分辨率分析树结构图
从图可以明显看出，多分辨率分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频不予以考虑。分解具有关系：SKIPIF1<0.这里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分SKIPIF1<0分解成低频部分SKIPIF1<0和高频部分SKIPIF1<0。以下再分解依次类推。
4.1康托尔（Cantor）间断集
设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0是一个长度等于1的闭区间，现在将单位长度等分，去掉中间长度为SKIPIF1<0的开区间SKIPIF1<0，剩下的是左、右各SKIPIF1<0长度的闭区间，用SKIPIF1<0表示，则SKIPIF1<0，接着再把SKIPIF1<0中两个长度各为SKIPIF1<0的区间三等分，去掉中间的SKIPIF1<0