卡尔曼滤波器及matlab代码.docx

信息融合大作业
——维纳最速下降法滤波器，卡尔曼滤波器设计及Matlab仿真

时间：2010-12-6
专业：信息工程
班级：09030702
学号：2007302171
姓名：马志强

滤波问题浅谈
估计器或滤波器这一术语通常用来称呼一个系统，设计这样的系统是为了从含有噪声的数据中提取人们感兴趣的，接近规定质量的信息。由于这样一个宽目标，估计理论应用于诸如通信、雷达、声纳、导航、地震学、生物医学工程、金融工程等众多不同的领域。例如，考虑一个数字通信系统，其基本形式由发射机、信道和接收机连接组成。发射机的作用是把数字源(例如计算机)产生的0、1符号序列组成的消息信号变换成为适合于信道上传送的波形。而由于符号间干扰和噪声的存在，信道输出端收到的信号是含有噪声的或失真的发送信号。接收机的作用是，操作接收信号并把原消息信号的一个可靠估值传递给系统输出端的某个用户。随着通信系统复杂度的提高，对原消息信号的还原成为通信系统中最为重要的环节，而噪声是接收端需要排除的最主要的干扰，人们也设计出了针对各种不同条件应用的滤波器，其中最速下降算法是一种古老的最优化技术，而卡尔曼滤波器随着应用条件的精简成为了普适性的高效滤波器。
2．维纳最速下降算法滤波器
2.1最速下降算法的基本思想
考虑一个代价函数QUOTE，它是某个未知向量QUOTE的连续可微分函数。函数QUOTE将QUOTE的元素映射为实数。这里，我们要寻找一个最优解QUOTE。使它满足如下条件

(2.1)
这也是无约束最优化的数学表示。
特别适合于自适应滤波的一类无约束最优化算法基于局部迭代下降的算法：
从某一初始猜想QUOTE出发，产生一系列权向量QUOTE，使得代价函数QUOTE在算法的每一次迭代都是下降的，即

其中QUOTE是权向量的过去值，而QUOTE是其更新值。
我们希望算法最终收敛到最优值QUOTE。迭代下降的一种简单形式是最速下降法，该方法是沿最速下降方向连续调整权向量。为方便起见，我们将梯度向量表示为

(2.2)
因此，最速下降法可以表示为

(2.3)
其中QUOTE代表进程，QUOTE是正常数，称为步长参数，1/2因子的引入是为了数学上处理方便。在从QUOTE到QUOTE的迭代中，权向量的调整量为

(2.4)
为了证明最速下降算法满足式(2.1)，在QUOTE处进行一阶泰勒展开，得到

(2.5)
此式对于QUOTE较小时是成立的。在式(2.4)中设QUOTE为负值向量，因而梯度向量QUOTE也为负值向量，所以使用埃尔米特转置。将式(2.4)用到式(2.5)中，得到

此式表明当QUOTE为正数时，QUOTE。因此，随着QUOTE的增加，代价函数QUOTE减小，当QUOTE时，代价函数趋于最小值QUOTE。

2.2最速下降算法应用于维纳滤波器
考虑一个横向滤波器，其抽头输入为QUOTE，对应的抽头权值为QUOTE。抽头输入是来自零均值、相关矩阵为QUOTE的广义平稳随机过程的抽样值。除了这些输入外，滤波器还要一个期望响应QUOTE，以便为最优滤波提供一个参考。在时刻QUOTE抽头输入向量表示为QUOTE，滤波器输出端期望响应的估计值为QUOTE,其中QUOTE是由抽头输QUOTE所张成的空间。空过比较期望响应QUOTE及其估计值，可以得到一个估计误差QUOTE，即

(2.6)
这里QUOTE是抽头权向量QUOTE与抽头输入向量QUOTE的内积。QUOTE可以进一步表示为

同样，抽头输入向量QUOTE可表示为

如果抽头输入向量QUOTE和期望响应QUOTE是联合平稳的，此时均方误差或者在时刻QUOTE的代价函数QUOTE是抽头权向量的二次函数，于是可以得到

(2.7)
其中，QUOTE为目标函数QUOTE的方差，QUOTE抽头输入向量QUOTE与期望响应QUOTE的互相关向量，及QUOTE为抽头输入向量QUOTE的相关矩阵。从而梯度向量可以写为

(2.8)
其中在列向量中QUOTE和QUOTE分别是代价函数QUOTE对应第QUOTE