平面与空间直线.docx

平面与空间直线

§3.1平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（1）通过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0且平行于矢量SKIPIF1<0的平面（2）通过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0坐标面的平面；
（3）已知四点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与SKIPIF1<0平面垂直的平面。
解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又矢量SKIPIF1<0平行于所求平面，
故所求的平面方程为：
SKIPIF1<0
一般方程为：SKIPIF1<0
（2）由于平面垂直于SKIPIF1<0面，所以它平行于SKIPIF1<0轴，即SKIPIF1<0与所求的平面平行，又SKIPIF1<0，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：
SKIPIF1<0
一般方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。
（3）（ⅰ）设平面SKIPIF1<0通过直线AB，且平行于直线CD：
SKIPIF1<0，SKIPIF1<0
从而SKIPIF1<0的参数方程为：
SKIPIF1<0
一般方程为：SKIPIF1<0。
（ⅱ）设平面SKIPIF1<0通过直线AB，且垂直于SKIPIF1<0所在的平面
SKIPIF1<0 SKIPIF1<0，SKIPIF1<0
均与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0的参数式方程为：
SKIPIF1<0
一般方程为：SKIPIF1<0.

2.化一般方程为截距式与参数式：
SKIPIF1<0.
解：SKIPIF1<0与三个坐标轴的交点为：SKIPIF1<0，
所以，它的截距式方程为：SKIPIF1<0.
又与所给平面方程平行的矢量为：SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0所求平面的参数式方程为：
SKIPIF1<0
3.证明矢量SKIPIF1<0平行与平面SKIPIF1<0的充要条件为：SKIPIF1<0.
证明：不妨设SKIPIF1<0，
则平面SKIPIF1<0的参数式方程为：
SKIPIF1<0
故其方位矢量为：SKIPIF1<0，
从而SKIPIF1<0平行于平面SKIPIF1<0的充要条件为：
SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0 SKIPIF1<0.
4.已知：连接两点SKIPIF1<0的线段平行于平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0里的坐标SKIPIF1<0.
解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0
而SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0
由题3知：SKIPIF1<0
从而SKIPIF1<0.

§3.2平面与点的相关位置

1.计算下列点和平面间的离差和距离：
（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；
（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.
解：将SKIPIF1<0的方程法式化，得：
SKIPIF1<0，
故离差为：SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0
（2）类似（1），可求得
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0

2.求下列各点的坐标：
（1）在SKIPIF1<0轴上且到平面SKIPIF1<0的距离等于4个单位的点；
（2）在SKIPIF1<0轴上且到点SKIPIF1<0与到平面SKIPIF1<0距离相等的点；
（3）在x轴上且到平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0距离相等的点。
解：（1）设要求的点为SKIPIF1<0则由题意
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或7.
即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。
（2）设所求的点为SKIPIF1<0则由题意知：
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
由此，SKIPIF1<0