第三章平面与空间直线.docx

第三章平面与空间直线
教学目的:1.深刻理解并掌握平面和三元一次方程之间的相互关系,即在空间直角坐标系下平面的方程是一个关于x,y,z的一次方程;反之任何一个关于变数x,y,z的一次方程都表示一个平面.
2.掌握平面的各种形式的方程,明确方程中常数(参数)的几何意义,能根据决定平面的各种几何条件熟练地导出它的方程,并熟悉关于平面方程的各种形式的互化.
3.能熟练地根据平面的方程及点的坐标判别有关点、平面之间有关距离、夹角、平行、垂直的公式,进行某些几何量的计算.
4.掌握有关平面束的概念,并会运用求平面的方程.
教学重点:本章重点是建立平面方程;平面与平面、平面与点的位置关系的判定;平面夹角,平行平面间的距离,点与平面的距离的计算.
教学难点:直接法或待定系数法求平面方程;离差概念及应用,平面束方程的证明

§3.1平面的方程
一.平面的点位式方程
1.平面SKIPIF1<0的方位向量:与SKIPIF1<0平行且不共线的任意两向量.
2.平面SKIPIF1<0的点位式方程:
①任一向量可由通过它的一点即方位向量确定.
②设平面SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,一对方位向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0
设点SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0上任一点,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0根据SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0共面而SKIPIF1<0,SKIPIF1<0不共线,有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0故
SKIPIF1<0(3.1-1)
这就是平面SKIPIF1<0的向量式的参数方程,（λ,μ为参数)。
平面SKIPIF1<0的坐标式的参数方程
SKIPIF1<0（3.1-2）
将(1)式两边与SKIPIF1<0作数性积得
SKIPIF1<0（3.1-3）
从（3.1-20）消去参数u,v得
SKIPIF1<0（3.1-4）
(3.1-1)(3.1-2)(3.1-3)(3.1-4)都叫做平面SKIPIF1<0的点位式方程

已知不共线三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求通过这三点的平面方程。

③平面的三点式方程与截距式方程
(1)平面的三点式方程
平面SKIPIF1<0过不共线三点SKIPIF1<0,有平面SKIPIF1<0的向量式参数方程
SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0.
(2)平面的截距式方程
平面SKIPIF1<0与三坐标轴的交点
SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
二.平面的一般方程
1.空间中平面的基本定理（定理）
①空间中任一平面可由点位确定,将其方程展开
SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3.1-10）
即空间的任一平面是关于x,y,z的三元一次方程.
②任一关于关于x,y,z的三元一次方程SKIPIF1<0,不妨SKIPIF1<0设可变为SKIPIF1<0
即SKIPIF1<0它表示了一个平面由点SKIPIF1<0和方位向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0确定.
方程SKIPIF1<0叫平面的一般方程.
2.特殊情形
①常数项为零,SKIPIF1<0平面过原点
②SKIPIF1<0系数有一个为零
SKIPIF1<0平面平行于Z轴
SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0平面通过Z轴
③SKIPIF1<0系数有两个为零
SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面平行于SKIPIF1<0坐标面;
SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0坐标面.
三.平面的法式方程
任何一平面可由通过它的一点及垂直与它的一个向量确定.
1.平面的法向量:与已知平面垂直的非零向量
2.平面的点法式方程
设平面SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,法矢SKIPIF1<0;
记SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0上任一点,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;
则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.
可表示成SKIPIF1<0.
可见,直角坐标系下平面的一般方程x,y,z前系数的几何意义.
3.平面的法式方程
①法式方程
在确定平面的点法式方程时,若特别地点SKIPIF1<0取自原点SKIPIF1<0向平面SKIPIF1<0所引垂线