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空间向量教学讲义

教学内容

【新授课知识讲解】
知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

;;
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：

3.共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。

4.共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。

5.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

6.空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若，，则，
，，
，
，
。
②若，，则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（4）模长公式：若，，
则，
（5）夹角公式：。
（6）两点间的距离公式：若，，
则，
或

7.空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。
（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。
（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。
（4）空间向量数量积的性质：
①。②。③。
（5）空间向量数量积运算律：
①。②（交换律）。
③（分配律）。
【典型例题】
eq\a\vs4\al(1.)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则a·(b＋c)的值为()
A．1 B．0
C．－1 D．－2
eq\a\vs4\al(2.)(2012·太原高二期末)设空间有四个互异的点A，B，C，D，已知(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC是()
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
eq\a\vs4\al(3.)已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．
eq\a\vs4\al(4.)已知|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角大小为________．
5.已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．
6.已知空间向量a，b，c两两夹角都是60°，其模都是1，则|a－b＋2c|＝________．
【典型例题】
eq\a\vs4\al(1).已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b等于()
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
eq\a\vs4\al(2).已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝－i＋j－k，则B点的坐标为()
A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
eq\a\vs4\al(3.)已知空间三个向量a＝(1，－2，z)，b＝(x，2，－4)，c＝(－1，y，3)，若它们分别两两垂直，则x＝_